Приглашаем школьников и студентов, интересующихся математикой, посетить семинар «Введение в современную теорию чисел и ее приложение», который начнет работу с 19 октября 2016 г.
ВНИМАНИЕ!
Начинает работу семинар под руководством
М.М.Васьковского, Н.В. Кондратенка и Н.П. Прохорова:
«Введение в современную теорию чисел и её приложения»
Первое заседание семинара – обзорная лекция состоится
в среду 19 октября 2016 г. в 17:30 в ауд. 513.
В первой – обзорной лекции планируется рассказ о некоторых классических и прикладных задачах современной теории чисел, в которых руководителям семинара удалось получить новые результаты. В частности, мы затронем некоторые классы экспоненциальных диофантовых уравнений, связанных с Великой теоремой Ферма и одной из наиболее важных нерешенных задач теории чисел – abc-гипотезой. Во второй части лекции речь пойдет о приложениях теоретико-числовых методов в криптографии: мы обсудим обобщения на квадратичные кольца одной из наиболее востребованных криптосистем – криптосистемы RSA, а также сопутствующие проблемы генерации ключей и криптографической стойкости таких обобщений. В заключительной части лекции мы обсудим экстремальные свойства алгоритма Евклида в кольцах с единственной факторизацией и обобщения теорем Кронекера-Валена и Ламе.
Для понимания лекции достаточно владения основами теории сравнений и умения оперировать с комплексными числами.
Приглашаются все желающие!
Примечание. С программой семинара можно будет ознакомиться на сайте www.uni.bsu.by на странице:
Семинар «Введение в теорию чисел и её приложения»
Предварительная программа семинара
«Введение в теорию чисел и её приложения»
Руководители: Васьковский М.М., Кондратенок Н.В., Прохоров Н.П.
Часть 0. Вводная часть
Часть 1. Элементарная теория чисел
-
1. Алгоритм Евклида и его сложность.
-
2. Сравнения по модулю и их свойства. Теоремы Ферма и Эйлера. Китайская теорема об остатках. Решение систем линейных сравнений.
-
3. Квадратичные вычеты. Символы Лежандра и Якоби. Квадратичный закон взаимности.
-
4. Показатели, первообразные корни, дискретные логарифмы. Их применение к решению показательных и cтепенных сравнений. Лемма Гензеля и решение полиномиальных сравнений.
-
5. Цепные дроби и их приложения к решению линейных и квадратичных диофантовых уравнений.
-
6. Критерии простых чисел. Общие (Вильсона, Люка, Эйлера, Миллера) и специальные (Люка-Лемера, Пепина).
Часть 2. Введение в алгебраическую теорию чисел
-
7. Кольцо вычетов, мультипликативная группа вычетов. Алгебраические доказательства теоремы Эйлера, китайской теоремы об остатках, существования первообразных корней.
-
8. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и конструктивное доказательство существования трансцендентных чисел.
-
9. Характеристики алгебраических чисел (степень, минимальный многочлен), приложения к доказательству Большой теоремы Ферма с рациональным показателем.
-
10. Определение квадратичных числовых полей. След и норма.
-
11. Арифметика кольца гауссовых чисел. Геометрическая интерпретация деления с остатком. Евклидовы квадратичные кольца и квадратичные кольца с единственной факторизацией.
-
12. Приложения цепных дробей к исследованию алгоритма Евклида в квадратичных кольцах и доказательству аналога теоремы Кронекера-Валена о кратчайшей длине алгоритма Евклида.
-
13. Строение простых чисел в квадратичных кольцах. Критерии простоты в квадратичных кольцах.
Часть 3. Прикладные задачи теории чисел
-
14. Понятие о криптографии с открытым ключом. Системы электронной цифровой подписи. RSA-криптосистема.
-
15. Свойства RSA-криптосистемы: сложность алгоритмов шифрования и дешифрования. Атака методом повторного шифрования и теорема Винера. Ограничения на выбор параметров. Аналоги RSA-криптосистемы в квадратичных кольцах с единственной факторизацией.
-
16. Криптосистемы Рабина и Эль-Гамаля.
-
17. Схемы разделения и верификации секрета (модулярная и полиномиальная).
-
18. Протоколы с нулевым разглашением (на примерах знания факторизации числа и дискретного логарифма).
-
19. Задача тестирования на простоту. Обзор классических и современных тестов на простоту (тесты на основе теоремы Ферма, Соловея-Штрассена, Миллера-Рабина). Их обобщения на квадратичные кольца с единственной факторизацией.
-
20. Задача факторизации. Обзор классических и современных методов факторизации (методы Ферма, цепных дробей и факторных баз, Полларда, идея метода решета числового поля).