Родился 8 декабря 1920 года в г. Великие Луки Псковской области РСФСР. Закончив в 1938 г. с аттестатом отличника среднюю школу в г. Сычевка, в том же году поступил на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета. В июне 1940 г. Ю.С.Богда­нов становится Сталинским стипендиатом и начинает активно заниматься научной работой.

В самом начале Великой Отечественной войны Ю.С.Богданов добровольно вступил в студенческий партизанский отряд, в составе которого принимал участие в операциях в тылу врага в Волосовском районе Ленинградской области. Из-за тяжелого ранения Юрий Станиславович вынужден был остаться на оккупированной территории, а в марте 1942 года его вывезли в Германию. Осенью 1945 года Юрий Станиславович вернулся на Родину и был восстановлен в Ленинградском университете студентом 4 курса. Но в том же 1947 г. обучение было прервано: Юрий Станиславович был арестован. В апреле 1955 года Военная Коллегия Верховного Суда СССР отменила приговор и отправила дело на повторное расследование с первоначальной стадии, но в декабре этого же года следствие было прекращено, и Ю.С. Богданов был освобожден. Реабилитирован же Юрий Станиславович был лишь посмертно 6 февраля 1989 года

В 1956 году Ю.С. Богданов с отличием окончил Ленинградский университет. С 1956 г. по 1958 г. он работает в Ленинградском отделении Математического института АН СССР, а начиная с 1958 года вся его трудовая деятельность неразрывно связана с Белорусским государственным университетом. Ю.С. Богданов работал на кафедре дифференциальных уравнений (1958 – 1964), заведовал кафедрами общей математики (1964 – 1968), высшей математики и математической физики (1968 – 1973), высшей математики (1971 – 1982). С 1982 г. – профессор кафедры высшей математики. В 1960 г. защитил кандидатскую диссертацию, а в 1966 г. докторскую диссертацию (Исследование дифференциальных систем с помощью обобщенных характеристичных чисел). В 1962 г. утвержден в звании доцента, а в 1968 г. — в звании профессора. За время работы в университете Ю.С.Богданов внес большой вклад в становление и развитие белорусской школы теории дифференциальных уравнений; среди его учеников более 40 кандидатов наук, пятеро из них доктора наук и профессора, среди которых академик НАН Беларуси Н.А. Изобов.

Для научной деятельности Ю.С. Богданова характерно глубокое проникновение в сущность рассматриваемых проблем и разнообразие научных интересов. Им получен ряд основополагающих результатов в современной асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, одним из создателей которой он по праву считается. Ю.С. Богдановым построена абстрактная теория норм Ляпунова; получен критерий Басова–Гробмана–Богданова правильности линейных систем; решена задача о существовании аппроксимирующей последовательности для правильных систем; доказана асимптотическая эквивалентность линейных систем кусочно-постоянным системам, коэффициенты которых принимают лишь два значения; введены аналоги преобразований Ляпунова и характеристических показателей для нелинейных систем (vd-преобразования и vd-числа). Им также указаны признаки отсутствия замкнутых траекторий у двумерных систем в заданной области плоскости; изучено множество периодов семейства циклов, охватывающих друг друга; обоснован метод нахождения периодических решений систем дифференциальных уравнений; построено множество всех решений дифференциального уравнения, содержащего лишь производную искомой функции. Ю.С.Богданов являлся зам. главного редактора журнала «Вестник БГУ» (серия 1), членом редколлегии Всесоюзного журнала «Дифференциальные уравнения».

Преподаванию математических дисциплин, их методическому обеспечению Ю.С. Богданов придавал большое значение. В разное время он руководил работой различных методических семинаров для преподавателей, являлся руководителем Республиканского методического объединения математиков, был членом президиума и членом секции университетов и пединститутов научно-методического Совета по математике при Учебно-методическом управлении Минвуза СССР, заместителем председателя секции математики научно-технического Совета Минвуза БССР, членом правления общества «Знание» БССР. Взгляды Ю.С. Богданова на математику и ее преподавание нашли свое отражение в серии написанных им замечательных учебных пособий по математическому анализу и дифференциальным уравнениям. Всего Ю.С. Богдановым опубликовано около ста научных статей, монография и семь учебных пособий.

Ю.С.Богданов неоднократно награждался Почетными Грамотами Минвуза СССР, Минвуза БССР, БГУ; награжден знаком «Отличник просвещения БССР», благодарственной Грамотой Всесоюзного общества «Знание».