Радыно Н. Я. Гиперкомплексные числа в задачах геометрии и алгебры: пособие для студентов фак. прикл. математики и информатики / Н. Я. Радыно. - Минск: БГУ, 2010. - 94 с.

В пособии рассматривается применение гиперкомплексных чисел: обобщенных комплексных чисел, кватернионов, бикватернионов для решения и исследования задач геометрии и алгебры.

Излагаются приемы использования гиперкомплексных чисел для описания поворотов, вращений, сдвигов, винтовых перемещений, проекций, вычисления углов между прямыми, нахождения кратчайших расстояний между скрещивающимися прямыми, задания некоторых кривых на плоскости и в пространстве и т. п. Кроме того, описывается алгоритм быстрого умножения двух гиперкомплексных чисел на примере быстрого умножения двух кватернионов.

Для студентов факультета прикладной математики и информатики БГУ.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

5

ГЛАВА I . ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

7

§ 1. Комплексные числа. Обобщенные комплексные числа: двойные и дуальные числа

7

§ 2. Экспонента от обобщенных комплексных чисел и ее применение к вычислению экспоненты матрицы второго порядка

9

§ 3. Об обобщенных комплексных числах и системах линейных дифференциальных уравнений

второго порядка

25

§ 4. Кватернионы. Классификация гиперкомплексных чисел

30

ГЛАВА II . СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ КВАТЕРНИОНОВ

37

§ 1. Основные свойства кватернионов

37

§ 2. Векторы как кватернионы. Векторные кватернионы

38

§ 3. Двойное векторное произведение и смешанное произведение векторов

40

§ 4. Представление вращений

40

§ 5. Геометрический смысл умножения произвольного кватерниона на векторный кватернион

43

§ 6. Представление произвольного поворота в пространстве с помощью кватернионов

44

§ 7. Задача о сложении поворотов

46

§ 8. Единичные векторные кватернионы

47

§ 9. Вращение y /- vu

49

§ 10. Вращение \/( wv — vw )( wu — uw )

50

§ 11. Отражения и проекции

50

§ 12. Аффинные преобразования

51

§ 13. Алгоритм быстрого умножения двух гиперкомплексных чисел на примере кватернионов

53

ГЛАВА III . ЭЛЕМЕНТЫ ВИНТОВОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

64

§ 1. Функции дуальной переменной

64

§ 2. Механическая и алгебраическая интерпретация бивекторов и бикватернионов

69

§ 3. Геометрическая интерпретация бивекторов и бикватернионов

75

§ 4. Геометрические задачи, решаемые с помощью кватернионов и винтового исчисления

86

ЛИТЕРАТУРА

93