ФПМИ: Леваков, А. А. Математический анализ

Леваков, А. А. Математический анализ

	Леваков, А. А. Математический анализ : учеб. пособие / А. А. Леваков. - Минск : БГУ, 2014. - 383 с. ISBN 978-985-566-034-8. Изложены разделы математического анализа, традиционно изучаемые на факультете прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета. Все приведенные утверждения снабжены полными доказательствами. Предназначено для студентов, обучающихся в учреждениях высшего образования по математическим специальностям.
Оглавление

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ	3
ПРЕДИСЛОВИЕ	4
ГЛАВА 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1. Числа	5
1.2. Грани числовых множеств	7
1.3. Логические операции	9
1.4. Предел последовательности	10
1.5. Свойства сходящейся последовательности	12
1.6. Бесконечно большая последовательность	14
1.7. Монотонная последовательность	15
1.8. Принцип выбора	16
1.9. Число е	17
1.10. Критерий Коши	18
1.11. Верхний и нижний пределы	19
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
2.1. Функции	21
2.2. Предел функции	24
2.3. Односторонние и бесконечные пределы	26
2.4. Замечательный тригонометрический предел	30
2.5. Непрерывная функция	32
2.6. Классификация точек разрыва	34
2.7. Непрерывность монотонной функции	35
2.8. Непрерывность обратной и сложной функций	37
2.9. Локальные свойства непрерывной функции	38
2.10. Показательная, логарифмическая и гиперболические функции	39
2.11. Замечательные показательно-степенной, логарифмический, показательный и степенной пределы	45
2.12. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций	46
2.13. Глобальные свойства непрерывной функции	47
2.14. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора	49
2.15. Колебание функции	50
ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
3.1. Определение производной. Производные основных элементарных функций	52
3.2. Производные обратной и сложной функций	55
3.3. Дифференцируемая функция. Дифференциал	57
3.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лейбница	60
3.5. Свойства дифференцируемой функции	65
3.6. Раскрытие неопределенностей 0/0 и ∞/∞ по правилу Лопиталя	68
3.7. Формула Тейлора. Теорема об остаточном члене формулы Тейлора	71
3.8. Представление остаточного члена формулы Тейлора в формах Лагранжа, Коши и Пеано	72
3.9. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора	74
ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
4.1. Критерий монотонности	78
4.2. Локальный экстремум	80
4.3. Выпуклая функция	82
4.4. Точка перегиба	85
4.5. Глобальный экстремум	87
4.6. Асимптоты	89
4.7. Построение графиков функций	91
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1. Первообразная. Неопределенный интеграл	93
5.2. Методы вычисления неопределенных интегралов	94
5.3. Разложение рациональной функции на простейшие дроби	97
5.4. Вычисление коэффициентов разложения рациональной функции на простейшие дроби	99
5.5. Интегрирование рациональных функций	101
5.6. Интегрирование иррациональных функций	102
5.7. Интегрирование рационально-тригонометрических функций	104
ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
6.1. Интегральные суммы и интеграл Римана	106
6.2. Критерий Коши интегрируемости по Риману	108
6.3. Интегрируемость по Риману непрерывной на отрезке функции	109
6.4. Свойства интеграла Римана	110
6.5. Теорема Барроу	113
6.6. Методы вычисления интегралов Римана	114
6.7. Геометрический смысл интеграла Римана	117
6.8. Длина кривой	102
6.9. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману	124
6.10. Классы функций, интегрируемых по Риману	127
ГЛАВА 7. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
7.1. Последовательность в R	129
7.2. Предел функции двух переменных	131
7.3. Непрерывная функция двух переменных	134
7.4. Дифференцируемая функция двух переменных	136
7.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных	143
7.6. Формула Тейлора для функции двух переменных	146
7.7. Теорема о неявной функции	148
ГЛАВА 8. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
8.1. Определение двойного интеграла	153
8.2. Геометрический смысл и свойства двойного интеграла	155
8.3. Критерий Дарбу для двойного интеграла	158
8.4. Сведение двойного интеграла к повторному	160
8.5. Замена переменных в двойном интеграле	164
ГЛАВА 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
9.1. Криволинейный интеграл первого типа	169
9.2. Криволинейный интеграл второго типа	174
9.3. Формула Грина	178
9.4. Выражение площади через криволинейный интеграл второго типа	181
9.5. Условия независимости криволинейного интеграла второго типа от пути интегрирования	182
ГЛАВА 10. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ
10.1. Топология R	188
10.2. Дифференцируемая векторная функция	191
10.3. Матрица Якоби сложной векторной функции	194
10.4. Дифференциалы высших порядков векторной функции	197
10.5. Кратные интегралы	199
10.6. Неявная векторная функция	203
10.7. Матрица Якоби неявной векторной функции	208
10.8. Теорема об обратной функции	210
10.9. Зависимые и независимые функциональные совокупности	210
10.10. Признак независимости функциональной совокупности	212
10.11. Признак зависимости функциональной совокупности	213
ГЛАВА П. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОГО АРГУМЕНТА
11.1. Необходимое условие локального экстремума	217
11.2. Исследование стационарных точек	219
11.3. Условный локальный экстремум	221
11.4. Метод Лагранжа нахождения точек условного локального экстремума	224
11.5. Глобальный экстремум функции векторного аргумента	228
ГЛАВА 12. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12.1. Поверхности	230
12.2. Площадь поверхности	234
12.3. Поверхностные интегралы	237
12.4. Формула Гаусса – Остроградского	244
12.5. Формула Стокса	247
12.6. Условия независимости криволинейного интеграла второго типа от пути интегрирования в пространстве	249
12.7. Потенциальные и соленоидальные векторные поля	251
ГЛАВА 13. ЧИСЛОВОЙ РЯД
13.1. Критерий сходимости и признаки сравнения для положительного ряда	254
13.2. Признаки Коши и Даламбера	256
13.3. Интегральный критерий. Степенной признак сходимости ряда	257
13.4. Признак Раабе	259
13.5. Знакопеременный ряд	260
13.6. Знакочередующийся ряд	261
13.7. Признаки Дирихле и Абеля	262
13.8. Действия над числовыми рядами	263
13.9. Двойной ряд	266
13.10. Бесконечное произведение	268
ГЛАВА 14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
14.1. Поточечная и равномерная сходимости функциональной последовательности	269
14.2. Равномерная сходимость функционального ряда	271
14.3. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функционального ряда	273
14.4. Непрерывность суммы функционального ряда	274
14.5. Почленное интегрирование функционального ряда	275
14.6. Почленное дифференцирование функционального ряда	276
14.7. Локально равномерная сходимость	277
ГЛАВА 15. СТЕПЕННОЙ РЯД
15.1. Радиус сходимости степенного ряда	280
15.2. Свойства степенного ряда	283
15.3. Дифференцирование степенного ряда	284
15.4. Композиция степенных рядов	285
15.5. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды	287
ГЛАВА 16. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
16.1. Несобственный интеграл первого типа	291
16.2. Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственного интеграла первого типа	296
16.3. Несобственный интеграл второго типа	298
16.4. Методы вычисления несобственных интегралов	300
ГЛАВА 17. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
17.1. Равномерная сходимость функции двух переменных к предельной функции	303
17.2. Свойства интеграла, зависящего от параметра	306
17.3. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра	310
17.4. Свойства несобственного интеграла первого типа, зависящего от параметра	314
17.5. Несобственный интеграл второго типа, зависящий от параметра	321
17.6. Интеграл Дирихле	323
17.7. Интегралы Лапласа	324
17.8. В-функция	326
17.9. Г-функция	329
ГЛАВА 18. РЯД ФУРЬЕ
18.1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций	334
18.2. Лемма Римана	338
18.3. Представление Дирихле частных сумм тригонометрического ряда Фурье	339
18.4. Поточечная сходимость ряда Фурье	343
18.5. Разложение в ряд Фурье непериодических функций	345
18.6. Неравенство Бесселя	349
18.7. Равномерная сходимость ряда Фурье	350
18.8. Почленное интегрирование ряда Фурье	351
18.9. Суммирование ряда Фурье методом средних арифметических	352
18.10. Приближение непрерывной функции многочленами	354
ГЛАВА 19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
19.1. Интеграл Фурье	356
19.2. Представление функции интегралом Фурье	358
19.3. Преобразование Фурье	361
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	370
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ	371