RUS ENG

Научная школа
«Математические методы
оптимального управления и оптимизации»

В 1966 г. по приглашению директора Института математики АН БССР академика Еругина Николая Павловича в Минск из Свердловска приехал доктор физико-математических наук, профессор Евгений Алексеевич Барбашин, которого избрали академиком и назначили заведующим только что открытой в институте лаборатории прикладной математики и механики, впоследствии переименованной в лабораторию, а позже в отдел теории процессов управления.

Для лаборатории требовались опытные сотрудники, а для развития в республике прикладной математики – специалисты в этой области. В связи с этим в том же году в Белорусском государственном университете на математическом факультете открылась кафедра прикладной математики, впоследствии переименованная в кафедру методов оптимального управления. В следующем году по рекомендации Е.А. Барбашина и по приглашению ректора БГУ академика Антона Никифоровича Севченко и директора ИМ АН БССР Николая Павловича Еругина в 1967 г. в Минск приехали еще два ведущих специалиста в этой области Фаина Михайловна Кириллова и Рафаил Федорович Габасов, которые впоследствии возглавили открытые лабораторию и кафедру.

Е.А. Барбашин заложил основы и сыграл большую роль в развитии в Беларуси не только теории устойчивости движений и теории управления, но и математической теории оптимального управления и ее приложений. А с приездом Ф.М. Кирилловой и Р.Ф. Габасова была создана научная школа по математическим методам оптимального управления и оптимизации, которая существует до настоящего времени и бессменными руководителями которой оставались член-корреспондент НАН Беларуси Ф.М. Кириллова и Заслуженный деятель науки БССР Р.Ф. Габасов. После ухода из жизни Е.А. Барбашина в 1969 г. его белорусские ученики (впоследствии академик НАН Беларуси И.В. Гайшун, Б.С. Калитин, Н.А. Карпиевич) стали развивать теорию устойчивости динамических систем.

За более чем 50 лет существования ученики научной школы защитили 14 докторских диссертаций (а выпускники кафедры методов оптимального управления – 20, 6 из которых по другим специальностям), 128 кандидатских диссертаций и работают почти во всех ВУЗах и научных учреждениях страны, а также во многих странах мира, в частности, в России, Украине, Азербайджане, Литве, Узбекистане, Таджикистане, США, Канаде, Германии, Норвегии, Португалии, Болгарии, Чехии, Австрии, Австралии, Израиле, Китае, Вьетнаме, Гвинее, Афганистане, Алжире, Сирии, КНДР.

Среди выпускников кафедры два академика – С.В. Абламейко, И.В. Гайшун – и член-корреспондент НАН Беларуси В.В. Гороховик.

Научные направления с самых первых лет создания школы разделились на качественную и конструктивную теорию оптимального управления и оптимизации, что нашло отражение и в одноименных монографиях Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой и ряда соавторов.

Основу работ по качественной теории оптимального управления заложили докторские диссертации основателей школы: «О некоторых применениях функционального анализа в теории оптимальных процессов» Ф.М. Кирилловой и «Математические вопросы оптимизации систем управления» Р.Ф. Габасова, в которых получены фундаментальные результаты по проблеме управляемости систем с запаздываниями, теории существования оптимальных управлений, открыт принцип квазимаксимума для дискретных систем, построена теория особых управлений, обоснована универсальная форма представления необходимых условий оптимальности с помощью вариационных производных. Исследования по этим направлениям продолжились их учениками, среди которых Гороховик В.В., Марченко В.М., Минюк С.А., Забелло Л.Е., Альсевич В.В., Калинин А.И., Метельский А.В., Минченко Л.И., Дымков М.П., Астровский А.И., Жевняк Р.М., Гороховик С.Я., Мордухович Б.Ш., Шкляр Б.Ш., Карпук В.В., Стрельцов С.В., Крахотко В.В., Копейкина Т.Б., Мулярчик В.В., Игнатенко В.В., Размыслович Г.П., Булатов В.И., Асмыкович И.К., Янович В.И. и др.

Большое внимание в работах школы уделялось исследованию базовых свойств управляемости и наблюдаемости систем управления. Для систем с последействием, которые по своей природе существенно сложнее обыкновенных систем, были введены так называемые определяющие уравнения (впервые это понятие было введено в работах Чураковой С.В.), которые эффективно, в параметрической форме, решают проблемы управляемости и наблюдаемости не только для обыкновенных систем, в частности, со сложной структурой, но и для систем с последействием. Впоследствии эти уравнения стали предметом исследований и в работах других ученых научной школы (Крахотко В.В., Кирлица В.П., Игнатенко В.В., Карпук В.В., Метельский А.В., Минюк С.А., Ивонис Э.А. (Литва), Марченко В.М., Мулярчик В.В., Мережа В.Л., Наумович Р.Ф., Пешева Ю.Х. (Болгария), Размыслович Г.П., Хритоненко Н.В., Калюжная Т.С., Антанович Т.Н. и др.). Кроме проблемы относительной управляемости, которая полностью решается с помощью определяющих уравнений для систем с последействием, была решена и более трудная проблема полной управляемости (Марченко В.М.). Для систем с последействием исследовались проблемы наблюдаемости, управляемости, стабилизируемости, точечной полноты, невырожденности (Марченко В.М., Минюк С.А., Метельский А.В., Карпук В.В. и др.). Изучались задачи управляемости в специальных классах управлений для различных классов динамических систем (Шкляр Б.Ш., Игнатенко В.В., Забелло Л.Е., Астровский А.И.). Проблемы наблюдаемости линейных нестационарных систем и систем с последействием исследовались в работах Копейкиной Т.Б., Мулярчика В.В., Астровского А.И., где получены необходимые и достаточные параметрические условия наблюдаемости в специальных классах разрешающих операций, для систем функций Чебышева доказана невырожденность обобщенной матрицы Грама, описаны информационные множества для помех и возмущений волновой структуры. Исследованы задачи наблюдения в условиях неопределенности с помехами на основе их описания с помощью нечетких множеств (Астровский А.И., Корженевичем С.К.).

Следующей проблемой теории оптимальных процессов, исследованной учениками школы, является проблема существования оптимальных управлений, которая в работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой и Мордуховича Б.Ш. ставится и решается по-новому. В частности, впервые доказаны так называемые индивидуальные теоремы существования оптимальных управлений, в которых условия существования решений дифференциальных уравнений связываются с условиями оптимальности, чего не было в работах других авторов, в том числе в классических теоремах существования А.Ф. Филиппова. В классических теоремах существования не учитывались индивидуальные особенности систем, в то время как для некоторых систем решения могут существовать и в случае, когда они не удовлетворяют условиям классических теорем. Этот недостаток и был устранен в указанных индивидуальных теоремах существования.

С проблемой существования оптимальных управлений тесно связана проблема необходимых условий оптимальности. Эти условия, очевидно, можно рассматривать лишь в случае, когда решения существуют. В работах школы был найден универсальный способ выражения необходимых условий в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина и обоснован этот результат для весьма широкого класса дифференциальных систем, включающих, в частности, системы с последействием. Универсальность метода заключается в том, что был найден способ формирования сопряженной системы, которая при формулировке и доказательстве принципа максимума является одним из основных элементов, и вид которой заметно усложняется с усложнением исходной (прямой) системы управления (Барбашина Е.Е., Минченко Л.И., Альсевич В.В. и др.). В это же время появилась возможность исследовать негладкие (Кругер А.Я., Мордухович Б.Ш.), гибридные (Стрельцов С.В., Ахундов А.А. (Азербайджан)), многокритериальные (Гороховик В.В., Дымков М.П.) задачи оптимального управления, со специальными ограничениями на управление и фазовые переменные (Белых Ю.Э., Крученок Ю.Л., Гайшун П.В., Карасева Г.Л.), с распределенными параметрами (Борзенков А.В., Кунчев О.И. (Болгария)).

В дальнейшем были тщательно исследованы ситуации, когда принцип максимума не дает информации об оптимальном управлении, т.е. возникают так называемые особые режимы – особые оптимальные управления. В работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, Срочко В.А. (Россия), Альсевича В.В., Барбашиной Е.Е., Тарасенко Н.В. (Россия), Гороховик С.Я. в этом направлении, во-первых, разработан универсальный метод пакета вариаций особых управлений в открытой области; во-вторых, предложен оригинальный метод матричных импульсов для особых управлений в замкнутой области, в-третьих, найдены новые условия оптимального сопряжения экстремалей (Калинин А.И.). Наконец, теория оптимальных особых управлений рассмотрена с позиций динамического программирования, для чего было предложено дополнить уравнения Беллмана в частных производных первого порядка новыми уравнениями в частных производных высокого порядка. Параллельно с исследованиями особых управлений была разработана теория условий оптимальности высокого порядка, которые усиливают принцип максимума на неособых участках, т.е. когда принцип максимума не дает достаточную информацию для распознавания неоптимальных управлений.

Как известно, не каждая задача оптимального управления имеет решение в классе измеримых управлений. В этом случае возникают так называемые скользящие режимы. Для их исследования были предложены два метода. Один из них состоит в расширении исходной задачи и использовании условий оптимальности для получающихся при этом особых управлений. Второй основан на предложенном принципе -максимума для субоптимальных управлений в непрерывных системах.

Следующей проблемой при исследовании задач оптимального управления является построение оптимальных управлений. Однако, поскольку большинство задач оптимального управления может быть решено только на вычислительных устройствах дискретного действия, то несомненно непрерывную систему приходится сводить к дискретной, в связи с чем возникает вопрос об исследовании дискретных систем управления. Следует отметить, что по своей природе дискретные системы вроде бы проще непрерывных систем. И многие исследователи попытались классический принцип максимума для непрерывных систем перенести на эти системы. Появились даже некоторые результаты. Однако либо они были ошибочны, либо не для любых систем эти результаты стремились к классическому принципу максимума, когда дискретная система при уменьшении периода квантования дискретизации стремилась к непрерывному ее аналогу.

Требовались новые подходы к исследованию дискретных систем управления. И такой подход был найден в работах Габасова Р., Ф.М. Кирилловой Ф.М., Гайшуна И.В. и их учеников (Ащепков Л.Т. (Россия), Гусакова М.Л., Минченко Л.И., Мехталиев А.И (Азербайджан)). Для дискретных систем был доказан принцип -максимума, вызвавший большой резонанс в научном мире. Этот результат впервые позволил принципу максимума Понтрягина получить адекватное выражение для дискретных систем. Именно принцип -максимума стал единственным результатом, который позволил устранить указанные выше недостатки результатов, полученных другими авторами. Он же позволил понять связь между существованием оптимальных управлений в непрерывных системах и справедливостью принципа максимума для дискретных систем.

Развивая тематику Барбашина Е.А. в области теории динамических систем академик Иван Васильевич Гайшун исследовал вполне интегрируемые системы на многообразиях, уравнения в полных производных в банаховых и локально выпуклых топологических пространствах, многомерные, многопараметрические и нечеткие динамические системы, системы уравнений с изменяющейся структурой и системы с запаздыванием, управляемые непрерывные и дискретные линейные динамические системы, рассматриваемые совместно с различными топологическими и алгебраическими структурами (локально-компактными группами, кольцами, топологическими полями и телами). В каждом из этих разделов математики Гайшун И.В. получил важные результаты, среди которых развитие теории устойчивости инвариантных множеств, основанное на понятии фильтра в общей топологии, глубокое обобщение теории характеристических чисел Ляпунова на неавтономные линейные уравнения в полных производных в банаховых пространствах, критерии ограниченности, периодичности и почти периодичности уравнений в полных производных на локально выпуклых пространствах. В теории нечетких множеств Гайшуну И.В. принадлежит определение нечеткой динамической системы (F-системы), использующее оригинальную интерпретацию функции принадлежности Л. Заде, и полное исследование устойчивости (по некоторому фильтру, обладающему свойством инвариантности) нечетких точек F-систем. И.В. Гайшун математически описал управляемые линейные системы в нечетких пространствах и доказал признаки устойчивости и управляемости таких систем. Ряд работ И.В. Гайшуна посвящен дискретным системам с изменяющейся структурой, в которых изучены свойства устойчивости, управляемости, наблюдаемости и их вложимости.

Работа школы над конструктивной теорией началась в 70-е годы с исследования статических задач оптимизации, среди которых первыми были задачи линейного программирования. Анализ наиболее известного, популярного и эффективного в те годы симплекс-метода показал, что его трудно использовать для решения задач оптимального управления, кроме того не удается использовать опыт специалистов, приближенные решения или строить субоптимальные планы. Адаптивный метод, созданный в Минске под руководством Р.Габасова и Ф.М. Кирилловой совместно с О.И. Костюковой, лишен отмеченных недостатков, а также использует теорию двойственности в основных операциях адаптивного метода. Это с одной стороны позволяет доказать критерий субоптимальности, а с другой – существенно повысить эффективность метода. При этом в отличие от двойственного симплекс-метода итерации адаптивного метода (прямого и двойственного) используют длинные двойственные шаги, что оказывает решающее влияние на повышение эффективности методов и позже сыграет важную роль при синтезе оптимальных систем управления.

После создания адаптивного метода линейного программирования была проведена работа по его обобщению на более сложные классы экстремальных задач – квадратичного, кусочно-линейного, дробно-линейного программирования (Покатаев А.В., Ракецкий В.М., Чернушевич А.С., Костина Е.А., Прищепова С.В., Дежурко Л.Ф., Шилкина Е.И.). На основе адаптивного метода разработан и программно реализован алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными ограничениями, который был применен к задаче построения априорной разрешающей гарантирующей операции для линейных дискретных систем наблюдения в условиях неопределенности (Астровский А.И.).

При моделировании многих прикладных задач естественным образом возникают сетевые модели, которые адекватно отражают структуру задач. Решение подобных задач общими методами, даже учитывающими разреженность матриц условий, менее эффективно, чем сетевые методы, которые представляют специальные реализации общих методов на сетевые задачи. Эти вопросы были исследованы в работах Маркова С.В., Командиной Л.В., Пилипчук Л.А..

Развитие адаптивного метода на общие задачи нелинейного программирования осуществлялось с помощью нового важного понятия – сетевых моделей нелинейных функций. Использований сетевых моделей позволяет наглядно представить сложность конкретной задачи и строить разнообразные эффективные численные методы решения задач нелинейного программирования с учетом специфики структуры конкретных функций, участвующих в формулировке задачи (Покатаев А.В., Ганаго А., Чемисова Т.В., Медведев В.Г.).

Обобщение адаптивного метода на динамические задачи оптимизации началось, естественно, с линейных систем управления. Как известно, при стандартном подходе решение задачи оптимального управления определяется оптимальным вектором Лагранжа, который задает оптимальное поведение котраектории – решения сопряженной системы. При реализации адаптивного метода для задач оптимального управления оказалось, что в качестве базового элемента разумно использовать не вектор Лагранжа, а опору, которая тесно связана как с прямой так и сопряженной системами. Это оказалось решающим в дальнейшем при создании алгоритмов построения оптимальных программных управлений (Еровенко Л.Д., Гневко С.В., Даукшас В.З. (Литва), Ефимова Г.А. (Украина), Сенько А.А., Лубочкин А.В., Савелова Л.А. и др.).

При переходе от линейных и специальных нелинейных задач к общим нелинейным задачам оптимального управления большую роль играют квазилинейные задачи оптимального управления, которые отличаются от линейных и специальных задач оптимального управления малыми нелинейными добавками. Для таких задач естественными являются асимптотические методы (методы малого параметра) – это направление развивается в минской школе А.И. Калининым. Хотя подобными методами занимаются многие исследователи, перенести их на задачи оптимального управления с замкнутыми геометрическими ограничениями не удавалось, поскольку эти задачи являются по существу не гладкими, а асимптотические методы работают только на гладких задачах. Успех минских математиков определился использованием в качестве основного инструмента опоры, которая гладким образом зависит от малого параметра, в отличие от сопряженных переменных. Объединение методов решения кусочно-линейных и квазилинейных задач оптимального управления позволит позже построить алгоритмы вычисления оптимальных программных управлений в нелинейных системах.

Работа по конструктивным методам оптимизации не ограничивалась разработкой алгоритмов. Эти алгоритмы были реализованы в виде комплексов программ для ЭВМ (Глушенков В.С. и Тятюшкин А.И. (Россия)) и опубликованы в серии выпусков по программному обеспечению.

К концу 80-х годов программа исследований по конструктивной теории экстремальных задач, начатая в начале 70-х, была в основном завершена в той части, которая касалась оптимизации статических задач и построения оптимальных программных управлений. Естественным стал переход к исследованию проблемы синтеза оптимальных обратных связей, для решения которой был предложен новый подход, составивший основу работ кафедры методов оптимального управления БГУ и отдела теории процессов управления Института математики НАН Беларуси по конструктивной теории после 90-х годов, уже в независимой Беларуси.

Школа по математическим методам оптимального управления и оптимизации сыграла большую роль в становлении этого направления исследований не только в Беларуси. Под руководством Ф.М. Кирилловой, Р.Ф. Габасова и их учеников было подготовлено большое число кандидатов физико-математических наук для союзных республик, стран Африки и Азии. Среди них Салиев Э.А., Азизов И., Умаров Б.Р. Давранов Б.Э. (Узбекистан), Тагайназаров С., Абдурахимов А.О. (Таджикистан), Айден М. (Алжир), Ле Вьет Нгы, Ву Куок Хань, Нгуен Ван Чан, Нгуен Ба Тхи, Нгуен Дык Хиеу и Во Тхи Тань Ха (Вьетнам), Джебран Дж. (Сирия), Чхе Хен Ир (КНДР), Давори М.И. (Афганистан), Кейта М.Ф. и Койта Ю. (Гвинея), Айяши М.У.Б. (Алжир).

В 1988 г. была заложена традиция проведения регулярной Международной научной конференции «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация», обычно приуроченной к юбилейным датам со дня рождения академика Е.А. Барбашина. Организаторами выступают БГУ и ИМ НАНБ. Этот регулярный форум проводится до сих пор и собирает учеников школы, а также ведущих специалистов со всего мира. Как правило, тематика пленарных и секционных докладов конференции охватывает широкий круг вопросов современной теории и практики управления и оптимизации: устойчивость, управление и наблюдение в реальном времени, дифференциальные игры, структурные свойства управляемых систем, оптимизация и негладкий анализ, управление в технических, экономических, биологических системах.

Значительное внимание Р.Ф. Габасов и Ф.М. Кириллова и их ученики уделяли учебной работе в ВУЗах. Принципиальной позицией основателей школы было беспромедлительное включение научных разработок в учебный процесс в рамках дисциплин специализаций, постоянное обновление тематики лекционных курсов, публикация учебных пособий, в частности неоднократно переиздававшегося и дополнявшегося пособия «Методы оптимизации», популярного среди студентов не только нашей страны но и зарубежом. Нынешний состав школы следует этой традиции и по сей день.

Монографии:

  1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости – М.: Наука, 1967. (Переиздана в Голландии в 1970 г.).
  2. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством – М.: Наука, 1969. – 299 с.
  3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова – М.: Наука, 1970. – 240 с.
  4. Барбашин Е.А. Метод сечений в теории динамических систем – Мн.: Наука и техника, 1979. – 120 с.
  5. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1971. – 507 с. (Переиздана в США в 1976 г.).
  6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. – М.: Наука, 1973. – 256 с. (Переиздана в США в 1978 г.).
  7. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. – Мн.: БГУ, 1973. – 146 с. (Переиздана в Японии в 1979 г.).
  8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Мн.: Наука и техника. 1974. – 274 с.
  9. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. – Мн.: БГУ, 1975. – 262 с.
  10. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Учебное пособие. – Мн.: БГУ (1-е издание 1975 г., 2-е издание 1980 г.) – 350 с. (Переиздана в США в 1988 г.). (С грифом Минвуза).
  11. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.1. Общие задачи. – Мн.: БГУ, 1974. – 176 с.
  12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.2. Транспортные задачи. – Мн.: БГУ, 1978. – 239 с.
  13. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч.3. Специальные задачи. – Мн.: БГУ, 1980. – 368 с.
  14. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Ч.1. Линейные задачи. – Мн.: БГУ, 1983. – 214 с.
  15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. Ч.2. За-дачи управления. – Мн.: Университетское, 1984. – 207 с.
  16. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Конструктивные методы оптимизации. Ч.3. Сетевые задачи. – Мн.: Университетское, 1986. – 224 с.
  17. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И., Ракецкий В.М. Конструктивные методы оптимизации. Ч.4. Выпуклые задачи. – Мн.: Университетское, 1987. – 223 с.
  18. Гайшун И.В. Вполне  разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. – Мн.: Наука и техника, 1983. – 272 с.
  19. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. – Мн.: Наука и техника, 1989. – 254 с.
  20. Гайшун И.В.  Многопараметрические системы управления. – Мн.: Наука и техника, 1996. – 200 с.
  21. Гороховик В. В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. – Мн.: Наука и техника, 1990.

В настоящий момент состав школы по математическим методам оптимального управления и оптимизации только в Республике Беларусь насчитывает 64 участника. Среди них 9 докторов наук – член-корр. НАНБ Кириллова Ф.М., Калинин А.И., Астровский А.И., член-корр. НАНБ Гороховик В.В., Дымков М.П., Костюкова О.И., Марченко В.М., Метельский А.В., Минченко Л.И., которые являются лидерами научных направлений в РБ в области теории систем, теории управления, математической теории оптимизации, оптимального управления, и 55 кандидатов наук, активно проводящих научные исследования в ИМ НАНБ, БГУ, БНТУ, БГТУ, БГУИР, БГЭУ, ГрГУ, ГГУ, БрГУ, ВГУ.

Новый период в жизни научной школы начался с обогащения качественной и конструктивной теория оптимизации новыми направлениями, непосредственно связанными с ускоряющимся развитием вычислительной техники, усложнением и исследованием новых классов управляемых объектов. Так, принципиально новый этап работы в рамках конструктивной теории оптимального управления связан с публикацией 1991 г. Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, О.И. Костюковой, в которой был предложен новый подход к центральной проблеме теории оптимального управления – синтезу оптимальных обратных связей. Этот подход получил название управления в режиме реального времени, и основан на отказе от классического представления о построении обратных связей в явном виде и использовании вычислительных устройств для нахождения необходимых для управления текущих значений оптимальных обратных связей в реальном времени по ходу каждого конкретного процесса управления.

Поскольку идея управления в реальном времени основана на построении программного решения задачи оптимального управления для текущей позиции процесса управления (позиция включает момент времени, состояние или его оценка) и использовании этого решения для управления объектом до поступления следующего измерения состояния, то для успешной реализации этого подхода были необходимы быстрые алгоритмы построения программных решений задач оптимального управления, а также процедуры коррекции оптимальных решений, полученных в предыдущий момент времени. Как уже упоминалось (см. ч.I), такие алгоритмы на основе адаптивного метода были разработаны для линейных стационарных систем. На новом этапе они были развиты на задачи управления линейными нестационарными системами в классе дискретных управляющих воздействий – это важный класс, учитывающий особенности реализации управления с применением вычислительной техники (Балашевич Н.В., Дмитрук Н.М.), а после – дополнены специальными процедурами для решения задач оптимального управления кусочно-линейными, квазилинейными, нелинейными системами управления (Балашевич Н.В., Калинин А.И.). Для линейных систем с запаздываниями была введена специальная конечномерная параметризация бесконечномерного состояния, что позволило перенести предыдущие результаты на новый класс систем (Балашевич Н.В., Дмитрук Н.М., Грушевич О.П.). Учет специфики различных классов управляющих воздействий с целью построения эффективных алгоритмов управления в реальном времени был продолжен исследованиями систем непрямого управления, задач управления с классе инерционных управлений (Коваленок Н.Н., Павленок Н.С.). Кроме того, были изучены особенности реализации подхода для управления системами с распределенными параметрами (Кузьменков Д.С.).

Исследование задач в классе дискретных управлений с точки зрения конструктивной теории породили также необходимость дополнения соответствующими результатами в качественной теории – условиями оптимальности в форме принципа максимума в специальных классах управляющих воздействий – релейных, импульсных (Гао Сюэдун (Китай), Коваленок Н.Н.), дискретных (Габасов Р.Ф., Альсевич В.В.). В частности, в классе дискретных управляющих воздействий получены условия оптимальности не только первого порядка, но и особых управлений, отличающиеся от результатов для непрерывных и дискретных систем управления.

Качественная теория также начала развиваться в направлении усложнения исследуемых систем. Появились результаты по проблемам управляемости, наблюдаемости, стабилизируемости для дескрипторных систем, обыкновенных и с последействием, значительно расширились исследованные классы гибридных систем (Марченко В.М., Крахотко В.В., Размыслович Г.П., Горячкин В.В.). В рамках качественной теории оптимального управления для линейных сингулярно возмущенных систем управления с запаздыванием Копейкиной Т.Б. предложено и развивается в работах ее учеников применение к исследованию структурных свойств трех подходов (на основе невырожденного расщепляющего преобразования, методов погранфункций и пространства состояний). Продолжены исследования с применением метода определяющих уравнений для задач относительной управляемости, наблюдаемости, стабилизируемости, результаты распространены на нестационарные системы, системы нейтрального типа.

Одновременно с появлением первых результатов по оптимальному управлению в реальном времени началась работа по их использованию для решения актуальных прикладных задач, которые, возможно, и не являются в исходной постановке экстремальными. Одной из таких задач является очень часто встречающаяся в приложениях задача стабилизации динамических систем. При этом рассматривалась актуальная для приложений задача синтеза ограниченных стабилизирующих обратных связей. Ключевыми моментами, позволившими решать такие задачи стали формулировки сопровождающих задач оптимального управления на конечном промежутке времени, для которых учет ограничений на управления не составляет принципиальной трудности, и нестандартный метод доказательства устойчивости замкнутых систем, основанный на том факте, что функция Беллмана сопровождающей задачи оптимального управления является функцией Ляпунова. Метод стабилизации динамических систем, обоснованный в работах Костюковой О.И., Балашевич Н.В. в дальнейшем был перенесен ими на задачи демпфирования, амортизации, регулирования, следящих систем, задачи Е.А. Барбашина по осуществлению движений (также Ружицкой Е.А.).

Исследования в рамках конструктивной теории в 2000-е гг. сосредоточились на развитии идей управления в реальном времени на задачи оптимального управления в условиях неопределенности. Последовательно были исследованы случаи управления по состоянию линейными системами, содержащими аддитивные возмущения, системами, состояния которых измеряются неточно, а затем – случай управления по выходу, когда измерения состояний проводятся как неточно, так и неполно. Известно, что учет информации о неопределенностях может значительным образом повысить эффективность обратных связей, но при этом задача синтеза существенно усложняется. В связи с этим возникли новые классы оптимальных обратных связей – замыкаемые и замкнутые обратные связи, а затем подход получил развитие на проблемы синтеза замкнутых систем, управляемых не только с помощью оптимальных обратных связей, но и с помощью оптимальных прямых и комбинированных связей (Костина Е.А., Балашевич Н.В., Дмитрук Н.М., Песецкая Т.И., Поясок Е.И.).

Двойственные задачам управления задачи наблюдения рассматривались как в рамках самостоятельного направления исследования, так и в связи с методами построения оптимальных обратных связей по выходу, работающих по доступным измерениям выходных сигналов систем управления. Методы построения оптимальных эстиматоров, вычисляющих в реальном времени оценки текущего состояния динамической системы на основе измеренного сигнала, предложены для всех систем, для которых ранее были решены и задачи оптимального управления (Костюкова О.И., Прищепова С.В., Дмитрук Н.М., Макевич П.В.).

Принцип управления в реальном времени естественным образом вписался в концепцию децентрализации функции управления большими динамическими системами или группами взаимосвязанных динамических систем между несколькими регуляторами, каждый из которых вырабатывает управляющие воздействия только для своей локальной системы. Оптимальное децентрализованное управление как направление исследований оказалось актуально не только в связи с постоянно возрастающей сложностью прикладных задач управления и их математических моделей, но и с углубляющейся интеграцией вычислительных устройств в процесс управления. Накопленный опыт по управлению в условиях неопределенности, построению ограниченных стабилизирующих обратных связей также нашли применение в рамках этого нового направления, что позволило предложить алгоритмы оптимального управления мультиагентными системами, группами систем с динамическими взаимосвязями при наличии различных типов неопределенностей в поведении агентов групп, алгоритмы построения децентрализованных стабилизирующих обратных связей, обосновать робастные свойства децентрализованных стратегий управления (Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М., Дмитрук Н.М.).

Помимо указанных направлений в работах участников научной школы методы теории оптимального управления перенесены и на задачи экономики. Направление, связанное с исследованием статических и динамических задач экономики, начало системно развиваться на кафедре методов оптимального управления и в других филиалах школы в первую очередь в связи с открытием специальности «экономическая кибернетика» на факультете прикладной математики и информатики. В работах этого направления методами оптимального управления построены программные и позиционные решения динамических задач микро- и макроэкономики, а также построены и исследованы новые модели задач потребления и фирмы, нелинейные и негладкие аналоги дуополии (Альсевич В.В., Астровский А.И., Дмитрук Н.М., Габасова О.Р., Глушенков В.С., Калитин Б.С., Фам Тхе Лонг (Вьетнам)).

Сложно указать область в теории оптимизации и оптимального управления, в которой не проводились бы исследования белорусской школой по математическим методам оптимального управления и оптимизации. Ее научные направления непрерывно обогащаются новыми теоретическими и прикладными проблемами, и многие ученики, прошедшие школу Р.Ф. Габасова и Ф.М. Кирилловой, успешно возглавили, а некоторые до настоящего времени развивают свои собственные научные направления.

Член-корреспондент НАН Беларуси Валентин Викентьевич Гороховик в июне 1973 года под руководством Ф.М. Кирилловой защитил кандидатскую диссертацию, в ноябре 1988 года в Институте математики и механики Уральского отделения АН СССР – диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Сегодня В.В.Гороховик – известный ученый в области выпуклого, негладкого и многозначного анализа.

В.В. Гороховик ввел в линейный и выпуклый анализ ступенчато-линейные и ступенчато-аффинные функции и развил теорию отделимости выпуклых множеств ступенчато-аффинными функциями, которая обобщает классическую теорию отделимости выпуклых множеств гиперплоскостями. В качестве приложений этой теории был предложен и разработан новый подход к исследованию выпуклых задач оптимизации, базирующийся на отделимости выпуклых множеств ступенчато-аффинными функциями, что позволило получить критерии оптимальности решений в нерегулярных выпуклых задачах векторной оптимизации, включая нерегулярные классические задачи выпуклого программирования. Этими результатами, фактически, была полностью завершена разработка двойственных условий оптимальности для выпуклых задач оптимизации.

Существенный вклад внес В.В. Гороховик и в развитие негладкого анализа. В этом направлении разработана теория полиэдрального и аппроксимативного квазидифференцирования функций и отображений, основанная на использовании кусочно-аффинных и разностно-сублинейных локальных аппроксимаций. Техника полиэдрального и аппроксимативного квазидифференцирования в применении к исследованиям экстремальных задач, в частности, общих задач векторной оптимизации и задач оптимального управления по векторному показателю качества, позволила разработать всестороннюю теорию необходимых и достаточных условий оптимальности первого и более высоких порядков.

В многозначном анализе основные результаты В.В. Гороховика связаны с дифференцируемостью многозначных отображений и, в частности, с распространением на многозначные отображения классического понятия дифференцируемости по Фреше. Самостоятельный интерес представляют исследования аффинных многозначных отображений, выполненные в рамках теории дифференцирования многозначных отображений. Важные результаты получены и по вопросам устойчивости решений задач векторной оптимизации, связанные, по существу, с исследованием топологических свойств специальных многозначных отображений.

Следует назвать и учеников Гороховика В.В. – Рачковского Н.Н., Шинкевич Е.А., Симонова А.Ю., Трофимович М.А., которые принимали участие вместе со своим руководителем в исследовании задач указанных выше направлений.

Профессор, доктор физико-математических наук Владимир Матвеевич Марченко – известный специалист по теории систем уравнений с последействием и дифференциально-алгебраических систем. Им получены основополагающие, фундаментальные результаты по структурным свойствам таких систем, он долгое время возглавлял кафедру высшей математики БГТУ. Ряд статей Марченко В.М. в ведущих мировых журналах по математической теории управления приносят славу школе Р.Ф. Габасова и Ф.М. Кирилловой. 

Профессор, доктор физико-математических наук Анатолий Иосифович Калинин возглавлял кафедру методов оптимального управления с 2000 по 2016 гг. и является одним из ведущих специалистов в мире по асимптотической теории и методам оптимизации возмущенных динамических систем. Им создан универсальный метод исследования оптимальных управлений в непрерывных и дискретных динамических системах, получивший название метода приращений в пространстве состояний, а также предложена методика исследования задач оптимизации динамических систем с малыми параметрами, с помощью которой разработаны алгоритмы асимптотического решения широкого класса регулярно и сингулярно возмущенных задач оптимального управления. Он ввел в теорию сингулярных возмущений новые предельные задачи, решения которых вместе с решениями вырожденных задач полностью определяют структуру оптимальных управлений в сингулярно возмущенных системах, благодаря чему, в частности, была решена проблема построения асимптотических приближений к оптимальным управлениям в задачах оптимизации линейных систем.

С помощью предложенного подхода Калининым А.И и его учениками Грибковской И.В., Семеновым К.В., Грудо Я.В., Лавриновичем Л.И. построена асимптотика решений широкого класса регулярно и сингулярно возмущенных задач оптимального управления. В рамках данного направления были исследованы задачи оптимизации сингулярно возмущенных систем с различным порядком малости параметров при производных, регулярно и сингулярно возмущенные задачи с параллелепипедными и сферическими прямыми ограничениями на многомерные управляющие воздействия, а также регулярно и сингулярно возмущенные задачи с интегрально квадратичным критерием качества, подвижным правым концом траектории.

Профессор, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института математики НАНБ Костюкова Ольга Ивановна – известный в мире ученый с широким кругом научных интересов в области оптимизации и оптимального управления.

В цикле работ О.И. Костюковой, посвященных исследованию зависимости от параметров решений задач оптимального управления и задач полубесконечного программирования, основное внимание уделялось изучению ситуаций, когда возмущения параметров приводят к нерегулярному поведению решений. Были получены формулы для вычисления производных оптимальных решений по параметрам и проведен анализ чувствительности оптимальных решений к возмущениям. Полученные результаты позволили разработать и обосновать метод быстрой коррекции решений и метод продолжения решения по параметру, составляющие основу конструктивных алгоритмов оптимального управления в условиях неопределенности (частично совместно с Костиной Е.А.).

Для оптимизационных задач с континуумом ограничений Костюковой О.И. введено понятие неподвижных индексов и порядков их неподвижности, являющиеся важной характеристикой задач, не удовлетворяющих условиям регулярности. На основе этого понятия для различных типов задач выпуклого полубесконечного программирования доказаны новые условия оптимальности, для применения которых не требуется, чтобы ограничения задачи удовлетворяли условиям регулярности. Построены и обоснованы алгоритмы построения неподвижных индексов. Для задач конической оптимизации разработаны процедуры регуляризации, сформированы пары двойственных задач, удовлетворяющие соотношениям двойственности в строгой форме. Результаты получены совместно с Чемисовой Т.В.

Костюковой О.И. доказаны критерии оптимальности для линейных задач оптимального управления дескрипторными системами с различными индексами. Для задач оптимального управления динамическими системами с разрывной правой частью по фазовой переменной сформулированы и доказаны новые невырожденные необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. В отличие от известных ранее результатов, полученные условия оптимальности не вырождаются при залегании траектории системы на поверхности переключения.

Костюковой О.И. совместно с Костиной А.Е., Курдиной М.А. для задач оптимального управления с неопределенностями разработаны алгоритмы построения гарантированных стратегий управления с произвольным числом точек коррекции. Предложенный подход основан на принципах динамического программирования, учитывает знание текущего состояния системы и возможные корректировки управления в будущем, что позволяет значительно улучшить качество управления по сравнению с классическими принципами, не учитывающими возможность корректировок в будущем. Однако алгоритмы, основанные на таком подходе, трудно реализовать программно. Поэтому была предложена и обоснована аппроксимация функций Беллмана, которая существенно упрощает численную реализацию алгоритма, что дает возможность применять его в режиме реального времени.

Профессор Минченко Леонид Иванович является известным ученым в области параметрической оптимизации, негладкого и многозначного анализа. Он защитил кандидатскую диссертацию в 1978 году под руководством Р.Ф. Габасова, а в ноябре 1992 года в Институте математики защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Работы Минченко Л.И. в параметрической оптимизации внесли существенный вклад в исследование липшицевых свойств, в частности таких как псевдо-липшицевость или свойство Обэна, многозначных отображений. Данные исследования находят интересные приложения в исследовании задач двухуровневого программирования и моделировании иерархических систем.

Он также внес значительный вклад в развитие такого раздела негладкого анализа как теория оптимальных дифференциальных включений, где получены необходимые условия оптимальности и достаточные условия локальной управляемости. В многозначном анализе основные результаты Минченко Л.И. связаны с выделением классов дифференцируемых по направлениям многозначных отображений.

Важные результаты получены Минченко Л.И. в теории условий регулярности экстремальных задач. Им предложены ослабленные условия регулярности, справедливые как для традиционных задач, так для новых классов задач оптимизации. В частности, предложена новая форма известного условия регулярности постоянного ранга, значительно расширившая возможности ее применения, а также ослабленные условия регулярности Мангасаряна-Фромовица, объединяющие многие результаты в данной области.

В составе школы также ученики Минченко Л.И. – Борисенко О.Ф, Волосевич А.А., Сацура Т.В., Сиротко С.И., Стержанов М.В., Тараканов А.Н., Теслюк В.Н.

Основной круг научных интересов Степана Андреевича Минюка (25.02.1948 ‑ 02.03.2008) составляли задачи управления и наблюдения для бесконечномерных систем. Им были предложены оригинальные методы исследования и получены эффективные условия разрешимости таких задач. Сюда, прежде всего, следует отнести исследование задач полной управляемости, наблюдаемости начального состояния и идентифицируемости текущего состояния для систем общего вида с распределенным и сосредоточенным запаздываниями, в том числе и при наличии ограничений на управление. Минюком С.А. проведено исследование полноты систем с последействием в функциональных пространствах при наличии ограничений на начальные условия. Предложен метод исследования задач управляемости и наблюдаемости линейных систем в банаховом пространстве. Развитые им методы исследования бесконечномерных задач управляемости и наблюдаемости адаптированы к системам уравнений в частных производных гиперболического типа. Получены эффективные результаты при исследовании задач оптимального управления и фильтрации дискретных двухпараметрических и непрерывных уравнений с последействием. Исследованы вопросы обратимости систем нейтрального типа. Построен непрерывный оператор восстановления в задаче идентификации текущего состояния в случае различных классов линейных систем с запаздыванием, на базе которого получено решение задачи полной управляемости (совместно с Метельским А.В.).

Метельский Анатолий Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Белорусского национального технического университета, соединив теорию определяющих уравнений и теорию Шиманова-Хейла, развил метод пространства состояний для функционально-дифференциальных систем с последействием, на базе которого получил эффективные условия точечной полноты и точечной вырожденности систем с запаздыванием, описал классы эквивалентных начальных состояний, исследовал задачи идентификации, полной управляемости, обратимости функциональной наблюдаемости и функциональной достижимости. Совместно с  Минюком С.А. они разработали новый подход к построению оператора восстановления в задаче идентификации текущего состояния для различных классов линейных систем с запаздыванием.

Метельским А.В. совместно с Карпуком В.В. предложен оригинальный подход к синтезу регуляторов типа обратной связи по состоянию для успокоения системы, в основе которого лежит построение характеристической матрицы замкнутой системы, обеспечивающее ей свойство точечной вырожденности. Ими получены новые условия точечной вырожденности и спектральной приводимости, а также алгоритмы решения задач, связанных с этими свойствами. Метельский А.В. адаптировал эти результаты на случай синтеза финитных наблюдателей (дающих точную оценку решения исходной системы за конечное время) через точечную вырожденность системы, описывающей ошибку наблюдения. Для систем запаздывающего типа с одномерным входом и одномерным выходом им создана теория синтеза регуляторов с обратной связью по неполному выходу. Отличительной чертой этой теории является конструктивный характер, поскольку реализация методов синтеза регуляторов и наблюдателей основывается на стандартных операциях с полиномами и полиномиальными матрицами, которые возможно проводить, используя современные системы компьютерной математики.

Эти исследования были продолжены в ГрГУ В.Е. Хартовским. Так, для систем нейтрального типа и вполне регулярных дифференциально-алгебраических систем В.Е. Хартовский разработал методику, позволяющую решать задачи  модальной управляемости, нуль-управляемости и спектральной приводимости в различных классах регуляторов, а также проектировать для этих объектов различные типы финитных и асимптотических наблюдателей. Также в ГрГУ в работах О.Б.Цехан в развитие идей С.А. Минюка по исследованию систем с запаздывающим аргументом и Т.Б. Копейкиной (подходы к исследованию сингулярно возмущенных систем с запаздыванием) получены результаты по полной управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем с запаздыванием, в том числе нестационарных, устойчивости сингулярно возмущенных систем с запаздыванием на шкалах, и эти результаты применяются для синтеза обратных связей в форме композитного управления.

Дымков Михаил Пахомович – профессор, доктор физико-математических наук, возглавлял кафедру высшей математики БГЭУ с 2003 по 2017 годы, а в настоящее время является профессором этой кафедры. Им совместно с академиком И.В. Гайшуном разработаны теоретические основы многопараметрических систем управления (в зарубежных публикациях часто пишут m-D или multidimensional systems) и их обобщений. Отличительной чертой таких систем является то, что их динамические переменные зависят более чем от одного параметра, так что распространение информации в них осуществляется по многим независимым направлениям. При этом, как правило, некоторые из этих параметров изменяются дискретным образом. Эти исследования первоначально мотивировались необходимостью математической формализации многочисленных задач, возникших в практике электрических цепей и обработке многомерных сигналов и их изображений. Стремительный прогресс в информационных технологиях породил обилие теоретических работ в новых типах динамических систем. В работах И.В. Гайшуна, М.П. Дымкова, В.В. Горячкина, Хуанг В.К. (Вьетнам) были разработаны операторно-алгебраические методы исследования структурных свойств широкого класса линейных многопараметрических систем. Оказалось, что изучение этих свойств удобно осуществить, опираясь на представление операторов, порождаемых исследуемой системой, в специальных кольцах, что дает  возможность использовать чисто алгебраические методы. На этом пути были исследованы классические для теории управления проблемы устойчивости, стабилизируемости, управляемости, наблюдаемости и других смежных вопросов в многопараметрических системах управления. Многие из полученных результатов носят окончательный характер, когда необходимые и достаточные условия выражены через параметры системы.

Естественным направлением последующих исследований явилось изучение задач оптимального управления в многопараметрических системах. Опираясь на операторные методы рассмотрены линейно-квадратичные задачи оптимизации, найдены различные формы представления оптимального управления. Получены условия оптимальности для линейных и выпуклых задач управления с ограничениями на фазовые переменные и управление. Результаты теории выпуклых множеств использованы для получения необходимых условий оптимальности типа принципа максимума Понтрягина для нелинейных по управлению систем. Классические разделы теории функций комплексной переменной применены для исследования задач оптимизации дискретно-непрерывных линейных многопараметрических систем.

Совместно с зарубежными специалистами (K. Galkowski, E. Rogers, D. Owens) на базе разработанных в Беларуси методов осуществлено исследование новых и специальных классов многопараметрических систем.

Профессором, доктором физико-математических наук Анатолием Ивановичем Астровским совместно с академиком И.В. Гайшуном разработаны и обоснованы новые методы исследования задач наблюдения в линейных нестационарных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, дающие концептуальное развитие теории наблюдаемости линейных нестационарных систем. В рамках данного направления предложены новые методы исследования различных типов наблюдаемости и построения канонических форм для линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Основное внимание уделено расширению класса систем наблюдения, для которых в конструктивной форме в терминах исходных параметров можно получить необходимые и достаточные условия наблюдаемости и существования канонических форм Фробениуса. Изучены задачи равномерной, аппроксимативной, точечной, положительной наблюдаемости. Решена задача эквивалентности линейных равномерно наблюдаемых нестационарных систем для различных групп преобразований.

Астровским А.И. предложен метод исследования наблюдаемости, основанный на квазидифференцируемости выходных переменных, позволивший получить достаточные условия полной, а также необходимые и достаточные дифференциальной и равномерной наблюдаемости. Получены условия квазидифференцируемости выходных функций систем наблюдения. Им доказаны необходимые и достаточные условия существования канонических форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых систем с квазидифференцируемыми коэффициентами и предложен метод их построения; предложен и обоснован алгоритм простроения информационных множеств для равномерно наблюдаемых систем с помехами волновой структуры, основанный на канонических формах Фробениуса, позволившего, в частности, получить достаточные условия идеальной наблюдаемости, представленные в терминах обобщенной матрицы Грама. Доказано, что дискретная аппроксимация по схеме Эйлера равномерно наблюдаемой дифференциальной системы тотально наблюдаема и что ее каноническая форма (при условии существования пределов некоторых функций, построенных по ее коэффициентам) сходится к канонической форме дифференциальной системы.

Получившие известность выпускники кафедры методов оптимального управления и ученики Р.Ф. Габасова сегодня работают в зарубежных научных центрах. Борис Шолимович Мордухович – заслуженный профессор математики Государственного университета Уэйна в Детройте (США). Он является одним из создателей современного вариационного анализа, опубликовал около 500 научных работ, включая 5 монографий, подготовил более 30 аспирантов и включен в список наиболее цитируемых исследователей в области математики. Его двухтомная монография “Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications”, опубликованная издательством Springer и переведенная на несколько языков, стала настольной книгой в этой области математики. Вариационная теория Б.Ш. Мордуховича и многие приложения изложены в его недавней монографии “Variational Analysis and Applications” (Springer, 2018), которая тоже стала популярной и переведена на китайский язык. Научная и педагогическая работа профессора Б.Ш. Мордуховича отмечена многими международными наградами и премиями, в частности, он получил звания почетного доктора и почетного профессора в 8 университетах и научных центрах мира, является почетным членом AMS, SIAM, академии наук США и Италии.

Александр Яковлевич Кругер – профессор математики Федерального университета Австралии, директор Центра информатики и прикладной оптимизации. А.Я. Кругер считает, что он в основном сформировался как ученый в бытность аспирантом кафедры методов оптимального управления под влиянием Р.Ф. Габасова, а также уникальной творческой атмосферы, существовавшей на кафедре. В настоящее время А.Я. Кругер – один из признанных лидеров в области современного негладкого и вариационного анализа и теории оптимизации. В частности, он внес существенный вклад в разработку обобщенного дифференциального исчисления, экстремального принципа, теории регулярности, а также необходимых условий оптимальности в негладких и невыпуклых задачах оптимизации.

В конце 1970-х А.Я. Кругер и Б.Ш. Мордухович ввели новые невыпукло-значные обобщенные дифференциальные объекты, известные в настоящее время как предельные субдифференциалы и нормальные конусы, и разработали основы их исчисления. Эти объекты сейчас широко используются в анализе и оптимизации. Они также сформулировали и доказали в 1980 году экстремальный принцип (обобщенное уравнение Эйлера), обобщающий классическую теорему отделимости на случай невыпуклых множеств. Этот результат признан одним из краеугольных камней современного вариационного анализа.

Другие важные результаты, установленные в дальнейшем А.Я. Кругером, включают, в частности, несколько условий накрывания (метрической регулярности) многозначных отображений; расширенный экстремальный принцип; прямые и двойственные достаточные и необходимые условия существования и устойчивости границ ошибок для скалярных и векторных функций; прямые и двойственные условия для различных понятий регулярности многозначных отображений и трансверсальности семейств множеств.

Основные публикации:

  1. Gabasov R., Kirillova F.M., Prischepova S.V. Optimal Feedback Control./ Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer-Verlag. Vol 207. 1995. – 202 pp.
  2. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И., Покатаев А.В. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 5. Нелинейные задачи. – Мн.: Университетское, 1998. – 390 с.
  3. Альсевич В.В., Габасов Р., Глушенков В.С. Оптимизация линейных экономических моделей: статические задачи. – Мн.: БГУ, 2000. – 210 с.
  4. Альсевич В.В. Оптимизация динамических систем с запаздываниями. – Мн.: БГУ, 2000. – 198 с.
  5. Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. – Мн.: УП “ЭКОПЕРСПЕКТИВА”, 2000. – 183 с.
  6. Калитин Б.С. Качественная теория устойчивости движения динамических систем. – Мн.: БГУ, 2002. – 198 с.
  7. Альсевич В.В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория. Учебное пособие. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 256 с. (2-е изд. – М: ЛКИ, 2007; 3-е изд. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2008, 2014, 2020).
  8. Дымков М.П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления – Мн.: БГЭУ, 2005. – 363 с.
  9. Амелькин В.В., Калитин Б.С. Изохронные и импульсные колебания двумерных динамических систем. – М.: Кам. Книга, 2006. – 208 с.
  10. Гороховик В.В. Конечномерные задачи оптимизации: учеб.пособие – Мн.: Изд.центр БГУ, 2007. – 239 с.
  11. Астровский А.И. Наблюдаемость линейных нестационарных систем. – Минск.: МИУ, 2007. – 220 с.
  12. Астровский А.И., Гайшун И.В. Линейные системы с квазидифференцируемыми коэффициентами: управляемость и наблюдаемость движений. – Минск.: Беларуская навука, 2013. – 213 с.
  13. Габасов Р., Альсевич В.В., Кириллова Ф.М., Калинин А.И., Крахотко В.В., Павленок Н.С. Методы оптимизации. Учеб. пособие – Мн.: Изд-во «Четыре четверти», 2011.
Другие сайты факультетаСтруктураОбразованиеМагистратураНаукаСтудентуВнеучебная деятельностьСистема
менеджмента
качества (СМК)
ОлимпиадыПравовые акты
БГУ, приказы
АбитуриентуШкольникуИсторияИздания факультетаПрофбюро ФПМИПерсональные страницыФотогалереи Центр
Компетенций
по ИТ
Газета ФПМыНаши партнеры