| ВВЕДЕНИЕ | 9 |
| Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ | |
| 1.1. Множества и элементы | 15 |
| 1.2. Отображения | 16 |
| 1.3. Действительные и комплексные числа | 17 |
| 1.4. Линейные пространства | 19 |
| 1.5. Нормированные и гильбертовы пространства | 21 |
| 1.6. Конечномерное евклидово пространство Rn | 25 |
| 1.7. Функции многих независимых переменных | 26 |
| 1.8. Производные функций многих независимых переменных | 28 |
| 1.9. Элементы векторного анализа | 30 |
| Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ | |
| 2.1. Понятие об уравнениях с частными производными | 39 |
| 2.2. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка | 41 |
| 2.3. Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка | 45 |
| 2.4. Приведение к каноническому виду дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными | 47 |
| 2.4.1. Приведение к каноническому виду гиперболических уравнений | 50 |
| 2.4.2. Приведение к каноническому виду параболических уравнений | 52 |
| 2.4.3. Приведение к каноническому виду эллиптических уравнений | 54 |
| 2.5. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка со многими независимыми переменными | 57 |
| 2.6. Понятие о характеристиках дифференциальных уравнений с частными производными | 61 |
| 2.7. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными | 65 |
| Глава 3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ЗАДАЧИ ДЛЯ НИХ | |
| 3.1. О постановке задач для дифференциальных уравнений с частными производными | 73 |
| 3.2. Корректная постановка задач | 75 |
| 3.3. Уравнения поперечных колебаний струны | 77 |
| 3.4. Уравнение теплопроводности | 79 |
| 3.5. Математические модели на основе уравнений колебания струны и теплопроводности | 82 |
| 3.6. Вывод уравнения колебаний мембраны | 88 |
| 3.7. Задачи для волнового уравнения, уравнений теплопровод ности и Пуассона | 91 |
| | |
| 3.7.1. Задачи для волнового уравнения | 92 |
| 3.7.2. Задачи для уравнения теплопроводности | 95 |
| 3.7.3. Задачи сопряжения разнотипных уравнений | 96 |
| 3.7.4. Задачи для уравнения Пуассона | 97 |
| 3.7.5. Обобщение волнового уравнения и уравнения тепло проводности | 98 |
| 3.8. Уравнение неразрывности | 100 |
| 3.9. Уравнения движения | 102 |
| 3.10. Уравнение энергии | 107 |
| 3.11.О задачах в гидродинамике и газовой динамике | 110 |
| 3.12. Уравнения Максвелла (основные уравнения электродинамики) | 111 |
| 3.13. Уравнение Гельмгольца | 113 |
| 3.14. Другие уравнения математической физики | 115 |
| 3.14.1. Уравнения равновесия балки | 115 |
| 3.14.2. Уравнения и задачи колебаний пластин | 116 |
| 3.14.3. Уравнение Шредингера | 121 |
| 3.14.4. Солитоны и нелинейные волновые уравнения | 122 |
| 3.14.5. Уравнения переноса | 123 |
| Глава 4. ЗАДАЧА КОШИ | |
| 4.1. Теорема Коши - Ковалевской | 131 |
| 4.1.1. Аналитические функции и формулировка теоремы Коши - Ковалевской | 131 |
| 4.1.2. Сведение задачи Коши к задаче Коши для линейных систем первого порядка | 134 |
| 4.1.3. Единственность решения задачи Коши | 137 |
| 4.1.4. Существование решения задачи Коши | 137 |
| 4.1.5. Примеры некорректно поставленных задач | 141 |
| 4.2. Метод Даламбера | 146 |
| 4.2.1. Формула Даламбера | 146 |
| 4.2.2. Смешанная задача в четверти плоскости | 148 |
| 4.3. Формула Кирхгофа | 151 |
| 4.3.1. Осреднение функций по сфере | 151 |
| 4.3.2. Вывод формулы Кирхгофа | 153 |
| 4.3.3. Формула Пуассона для волнового уравнения | 155 |
| 4.3.4. Вывод формулы Даламбера из формулы Пуассона | 157 |
| 4.3.5. Принцип Гюйгенса | 157 |
| | |
| 4.4. Метод Дюамеля | 159 |
| 4.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности | 163 |
| | |
| 4.5.1. Принцип минимума и максимума для уравнения тепло проводности | 163 |
| 4.5.2. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности | 164 |
| 4.5.3. Преобразование Фурье | 166 |
| 4.5.4. Пространство L2 (Ω) | 172 |
| 4.5.5. Операторы осреднения Соболева | 174 |
| 4.5.6. Вывод формулы Пуассона решения задачи Коши для уравнения теплопроводности | 178 |
| 4.5.7. Обоснование формулы Пуассона (4.5.47) | 181 |
| 4.6. Решение задачи Коши для волнового уравнения с помощью преобразования Фурье | 183 |
| 4.7. Сильное решение задачи Коши для гиперболического уравнения | 187 |
| 4.7.1. Постановка задачи и вспомогательные неравенства | 187 |
| 4.7.2. Гильбертовы пространства Соболева Н1(Ω) | 190 |
| 4.7.3. Энергетическое неравенство для задачи Коши (4.7.1), (4.7.3) | 194 |
| 4.7.4. Понятие сильного решения | 201 |
| 4.7.5. Сильное решение задачи Коши (4.7.1), (4.7.3) | 203 |
| 4.7.6. Операторы осреднения с переменным шагом | 206 |
| 4.7.7. Доказательство леммы 4.7.3 | 220 |
| 4.8. Метод Римана | 229 |
| 4.8.1. Задачи для гиперболического уравнения второго порядка в случае двух независимых переменных, записанного во втором каноническом виде | 229 |
| 4.8.2. Метод Римана для задачи Коши | 233 |
| Глава 5. ЗАДАЧА ГУРСА | |
| 5.1. Постановка задачи Гурса для гиперболического уравнения | 239 |
| 5.2. Энергетическое неравенство задачи Гурса | 240 |
| 5.3. Сильное решение задачи Гурса | 242 |
| 5.4. Метод последовательных приближений | 246 |
| Глава 6. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ | |
| 6.1. Обобщенное решение задачи Дирихле | 255 |
| 6.1.1. Определение обобщенного решения задачи Дирихле | 255 |
| 6.1.2. Эквивалентность норм пространств H 1 (Ω) и Ha ( Ω ) | 257 |
| 6.1.3. Теорема Ф. Рисса | 261 |
| 6.1.4. Существование обобщенного решения задачи Дирихле | 262 |
| | |
| 6.2. Обобщенное решение задачи Неймана | 26 4 |
| 6.3. Граничная задача третьего рода для уравнения Пуассона | 269 |
| 6.4. Задача Штурма - Лиувилля | 271 |
| | |
| 6.4.1. Задача Штурма - Лиувилля с условиями Дирихле | 271 |
| 6.4.2. Задача Штурма - Лиувилля с условиями Неймана | 273 |
| 6.4.3. Задача Штурма - Лиувилля со смешанными граничными условиями Дирихле и Неймана | 274 |
| 6.4.4. Задача Штурма - Лиувилля с граничными условиями третьего рода | 276 |
| 6.4.5. Обобщение оператора Лапласа | 276 |
| Глава 7. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ | |
| 7.1. Метод Фурье | 283 |
| 7.1.1. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямо угольнике | 283 |
| 7.1.2. Задача Неймана для уравнения Пуассона в прямо угольнике | 287 |
| 7.1.3. Задача со смешанными условиями для уравнения Пуассона | 288 |
| 7.1.4. О граничных задачах для уравнения Пуассона в прямоугольнике с условиями третьего рода | 289 |
| 7.1.5. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в параллелепипеде | 291 |
| 7.2. Специальные функции | 294 |
| 7.2.1. Уравнение теории специальных функций | 294 |
| 7.2.2. Цилиндрические функции | 296 |
| 7.2.3. Полиномы Лежандра | 300 |
| 7.2.4. Присоединенные функции Лежандра | 310 |
| 7.2.5. Другие специальные функции | 313 |
| 7.3. Метод Фурье для канонических областей | 318 |
| 7.3.1. Граничные задачи для уравнения Пуассона в круговом цилиндре | 319 |
| 7.3.2. Сферические функции | 325 |
| 7.3.3. Шаровые функции | 330 |
| 7.3.4. Задача Штурма - Лиувилля для оператора Лапласа в шаре | 334 |
| 7.4. Метод Грина | 338 |
| 7.4.1. Формулы Грина | 338 |
| 7.4.2. Гармонические функции и интегральное представление функций из класса С2(Ω) ∩ C 2 (Ω) | 340 |
| 7.4.3. Единственность задач Дирихле для уравнения Пуассона | 351 |
| 7.4.4. Метод Грина для задачи Дирихле | 354 |
| 7.4.5. Метод Грина для задачи Неймана | 356 |
| 7.4.6. Построение функции Грина для задачи Дирихле уравнения Пуассона | 358 |
| 7.4.7. Интеграл Пуассона для круга и шара | 365 |
| 7.4.8. О единственности решений внутренней задачи Неймана | 368 |
| 7.4.9. О единственности решений внешней задачи Неймана | 370 |
| 7.5. Метод потенциалов | 373 |
| 7.5.1. Потенциалы простого и двойного слоя | 375 |
| 7.5.2. Сведение задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям | 387 |
| 7.5.3. О разрешимости задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа | 390 |
| 7.5.4. Другие применения метода потенциала | 399 |
| 7.5.5. О методе граничных элементов | 401 |
| Глава 8. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ | |
| 8.1. Смешанные задачи для гиперболического уравнения | 405 |
| 8.1.1. Сильное решение смешанных задач для гиперболического уравнения | 406 |
| 8.1.2. Метод Фурье для смешанных задач для гиперболического уравнения | 409 |
| 8.1.3. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи уравнения колебания струны | 411 |
| 8.1.4. Метод Фурье для смешанных задач для волнового уравне ния в случае шара | 416 |
| 8.1.5. Метод характеристик | 417 |
| 8.2. Смешанные задачи для параболических уравнений | 432 |
| 8.2.1. Сильное решение смешанных задач (8.2.6)-(8.2.8) | 433 |
| 8.2.2. Метод Фурье для смешанных задач параболических уравнений | 447 |
| БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ | 451 |
| ЛИТЕРАТУРА | 452 |