| ПРЕДИСЛОВИЕ | 4 |
| ВВЕДЕНИЕ | 5 |
| Литература | 15 |
| Глава 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ | 16 |
| § 1. Симплекс-метод | 16 |
| 1.1. Производственная задача | 16 |
| 1.2. Графический метод решения задач ЛП | 17 |
| 1.3. Каноническая задача ЛП | 21 |
| 1.4. Базисный план | 24 |
| 1.5. Потенциалы и оценки | 26 |
| 1.6. Критерий оптимальности | 27 |
| 1.7. Итерация симплекс-метода | 30 |
| 1.8. Алгоритм | 34 |
| 1.9. Первая фаза | 37 |
| | |
| 1.10. Конечность симплекс-метода | 52 |
| 1.11. Три свойства канонической задачи | 53 |
| 1.12. Задача произвольной формы | 53 |
| § 2. Двойственный симплекс-метод | 55 |
| 2.1. Двойственная каноническая задача | 55 |
| 2.2. Базисные двойственный план и псевдоплан | 59 |
| 2.3. Теория двойственности | 65 |
| 2.4. Критерий оптимальности базисного двойственного плана | 71 |
| 2.5. Итерация | 75 |
| 2.6. Алгоритмы двойственного симплекс-метода | 81 |
| 2.7. Вырожденный базисный двойственный план | 85 |
| 2.8. Первая фаза | 88 |
| 2.9. Задача ЛП в произвольной форме | 90 |
| 2.10. Конечность двойственного симплекс-метода | 93 |
| §3. Анализ решения | 93 |
| 3.1. Единственность оптимального прямого плана | 93 |
| 3.2. Единственность оптимального двойственного плана | 94 |
| 3.3. Анализ чувствительности решения задачи | 95 |
| 3.4. Коррекция оптимальных планов при возмущении задач ЛП | 99 |
| 3.5. Изменение размеров задачи | 100 |
| 3.6. Нестационарные задачи | 104 |
| § 4. Специальные задачи | 105 |
| 4.1. Сетевая транспортная задача | 106 |
| 4.2. Матричные транспортные задачи | 124 |
| § 5. Некоторые приложения ЛП | 138 |
| 5.1. Задачи на минимакс | 138 |
| 5.2. Кусочно-линейная экстремальная задача | 139 |
| 5.3. Приложение к исследованию линейных соотношений | 141 |
| 5.4. Линейное программирование и матричные игры. Теорема о минимаксе | 144 |
| 5.5. Задача о максимальном потоке | 147 |
| Литература | 149 |
| Глава 2. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ | 150 |
| § 6. Выпуклые множества и функции | 151 |
| 6.1. Выпуклые множества | 151 |
| 6.2. Отделимость выпуклых множеств | 154 |
| 6.3. Выпуклые функции | 160 |
| 6.4. Дифференцируемость выпуклых функций | 175 |
| 6.5. Экстремумы выпуклых функций | 179 |
| § 7. Основная задача выпуклого программирования. Теорема Куна - Таккера | 181 |
| 7.1 Постановка задачи | 181 |
| 7.2. Теорема Куна - Таккера | 182 |
| 7.3. Задача ВП с линейными ограничениями | 184 |
| § 8. Теория двойственности в выпуклом программировании | 186 |
| 8.1. Двойственная задача | 187 |
| 8.2. Соотношения двойственности | 187 |
| 8.3. Задача квадратичного программирования | 189 |
| 8.4. Задача геометрического программирования | 190 |
| § 9. Общая задача квадратичного программирования | 193 |
| 9.1. Каноническая задача КП | 194 |
| 9.2. Графоаналитический метод | 197 |
| 9.3. Алгоритм решения простой задачи квадратичного программирования | 207 |
| 9.4. Алгоритм решения общей задачи квадратичного программирования | 216 |
| § 10. Специальные методы численного решения задач выпуклого программирования | 223 |
| 10.1. Непрямые методы | 224 |
| 10.2. Прямые методы | 225 |
| Литература | 231 |
| Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ | 232 |
| § 11. Конечномерные экстремальные задачи | 232 |
| § 12. Задача безусловной оптимизации | 234 |
| 12.1. Необходимое условие минимума первого порядка | 234 |
| 12.2. Условия оптимальности второго порядка | 236 |
| § 13. Задачи с простыми ограничениями | 238 |
| § 14. Задача со смешанными ограничениями | 240 |
| 14.1. Обобщенное правило множителей Лагранжа | 240 |
| 14.2. Классическое правило множителей Лагранжа | 245 |
| 14.3. Условно стационарные и нормальные планы | 247 |
| 14.4. Условия минимума второго порядка | 250 |
| 14.5. Линейные ограничения | 254 |
| 14.6. Общая схема исследования задачи НЛП | 256 |
| § 15. Негладкие задачи | 258 |
| 15.1. Минимизация функций, дифференцируемых по направлениям | 258 |
| 15.2. Производная и субдифференциал Кларка | 263 |
| § 16. Векторная оптимизация | 265 |
| 16.1. Принципы выбора | 265 |
| 16.2. Скаляризация критерия | 266 |
| 16.3. Введение иерархии целевых функций | 267 |
| Литература | 269 |
| ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ | 270 |
| § 17. Минимизация функций одной переменной | 271 |
| 17.1. Поиск точек безусловного минимума. Метод Пауэлла | 271 |
| 17.2. Методы поиска точек минимума унимодальных функций | 273 |
| 17.3. Метод ломаных | 279 |
| § 18. Безусловная минимизация функций | 282 |
| 18.1. Методы градиентного типа | 282 |
| 18.2. Метод Ньютона | 285 |
| § 19. Условная минимизация функций | 287 |
| 19.1. Метод проекции градиента | 287 |
| 19.2. Метод условного градиента | 288 |
| 19.3. Метод модифицированных функций Лагранжа | 289 |
| 19.4. Метод штрафных функций | 291 |
| Литература | 292 |
| ГЛАВА 5. ДИСКРЕТНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ | 294 |
| § 20. Методы ветвей и границ | 294 |
| 20.1. Постановка задачи дискретного программирования | 294 |
| 20.2. Общая схема методов ветвей и границ | 295 |
| § 21. Задача о рюкзаке | 297 |
| § 22. Целочисленное линейное программирование | 301 |
| 22.1. Метод ветвей и границ | 301 |
| 22.2. Метод отсечения Гомори | 305 |
| § 23. Метод вариаций. Задача минимизации штрафов | 309 |
| Литература | 311 |
| ГЛАВА 6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ | 312 |
| § 24. Оптимизация многошаговых процессов | 312 |
| 24.1. Постановка задачи | 312 |
| 24.2. Инвариантное погружение. Функция Беллмана | 313 |
| 24.3. Принцип оптимальности. Уравнение Беллмана | 314 |
| 24.4. Анализ результатов | 315 |
| 24.5. Стандартная процедура | 316 |
| 24.6. Задача о замене оборудования | 318 |
| § 25. Задача распределения ресурсов | 320 |
| § 26. Построение кратчайшего пути на сети | 324 |
| § 27. Задача сетевого планирования | 327 |
| Литература | 330 |
| ГЛАВА 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ | 331 |
| § 28. Основная задача вариационного исчисления | 331 |
| 28.1. Задача о брахистохроне | 331 |
| 28.2. Основная задача | 332 |
| 28.3. Другие задачи вариационного исчисления | 334 |
| § 29. Метод вариаций | 335 |
| 29.1. Вариация допустимой кривой | 335 |
| 29.2. Вариации функционала | 336 |
| 29.3. Необходимые условия слабого минимума в терминах вариаций функционала | 337 |
| 29.4. Уравнение Эйлера | 338 |
| 29.5. Теорема Гильберта | 341 |
| 29.6. Кусочно-гладкие допустимые кривые | 342 |
| § 30. Исследование второй вариации | 345 |
| 30.1. Присоединенная задача о минимуме | 345 |
| 30.2. Условие Лежандра - Клебша | 346 |
| 30.3. Условие Якоби | 347 |
| Литература | 350 |
| ГЛАВА 8. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ | 351 |
| § 31. Задача предельного быстродействия | 351 |
| 31.1. Оптимальное по быстродействию управление механическим объектом | 351 |
| 31.2. Сравнение задачи быстродействия с задачей о брахистохроне | 352 |
| 31.3. Математическая модель задачи предельного быстродействия | 353 |
| § 32. Принцип максимума | 354 |
| 32.1. Постановка задачи | 354 |
| 32.2. Существование оптимальных программ | 355 |
| 32.3. Формула приращения критерия качества | 359 |
| 32.4. Необходимое условие оптимальности программ (принцип максимума Понтрягина) | 361 |
| 32.5. Достаточное условие оптимальности | 363 |
| 32.6. Задачи оптимального управления с терминальными ограничениями | 366 |
| 32.7. Принцип максимума для задач быстродействия | 376 |
| 32.8. Краевая задача принципа максимума Понтрягина | 380 |
| 32.9. Примеры | 382 |
| § 33. Специальные задачи оптимального управления | 401 |
| 33.1. Оптимизация непрерывных динамических систем в классе дискретных управляющих воздействий | 401 |
| 33.2. Оптимизация дискретных систем | 406 |
| 33.3. Оптимизация квазинепрерывных систем | 410 |
| 33.4. Оптимизация непрерывных динамических систем в классе дискретно-импульсных управляющих воздействий | 413 |
| § 34. Динамическое программирование в теории оптимального управления | 420 |
| 34.1. Задача оптимального управления в классе кусочно-непрерывных управляющих воздействий | 421 |
| 34.2. Связь динамического программирования с принципом максимума | 426 |
| 34.3. Применение динамического программирования к специальным задачам оптимального управления | 428 |
| § 35. Проблема синтеза оптимальных систем управления | 435 |
| 35.1. Синтез оптимальных систем управления с помощью принципа максимума | 435 |
| 35.2. Применение динамического программирования к синтезу оптимальных систем управления | 444 |
| 35.3. Оптимальные системы управления | 446 |
| 35.4. Оптимальное управление в реальном времени | 447 |
| Литература | 459 |
| Предметный указатель | 460 |