| Предисловие | 7 |
| Введение | 9 |
| Основные обозначения и сокращения | 11 |
| Часть I . ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ | |
| Глава 1. Случайные события и их вероятности | 17 |
| 1.1. Предмет теории вероятностей | 17 |
| 1.2. Случайные события и соотношения между ними | 18 |
| 1.3. Понятие вероятности. Простейшие вероятностные модели | 20 |
| 1.4. Алгебра, σ-алгебра и их свойства. Измеримое пространство | 23 |
| 1.5. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство | 25 |
| 1.6. Свойства вероятностной меры (вероятности) | 27 |
| 1.7. Условная вероятность и ее свойства. Формула полной вероятности. Формула Байеса | 29 |
| 1.8. Независимые случайные события и их свойства | 32 |
| 1.9. Схема независимых испытаний Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей | 34 |
| 1.10. Упражнения | 35 |
| Глава 2. Случайные величины и их распределения вероятностей | 37 |
| 2.1. Понятия случайной величины и распределения вероятностей. Функция распределения и ее свойства | 37 |
| 2.2. Классификация функций распределения, распределение вероятностей и случайных величин. Основные законы распределения вероятностей | 40 |
| 2.3. n -Мерная случайная величина и случайный n -вектор. n - Мерная функция распределения, n -мерная плотность распределения вероятностей и их свойства | 49 |
| 2.4. Условная функция распределения, условная плотность распределения вероятностей и их свойства | 53 |
| 2.5. Независимость случайных величин | 56 |
| 2.6. Функциональные преобразования случайных величин | 58 |
| 2.7. Упражнения | 61 |
| Глава 3. Числовые характеристики случайных величин | 65 |
| 3.1. Схема построения интеграла Лебега по вероятностной мере. Математическое ожидание простой случайной величины и его свойства | 65 |
| 3.2. Математическое ожидание (интеграл Лебега) для произвольных случайных величин | 70 |
| 3.3. Свойства математического ожидания (интеграла Лебега) | 74 |
| 3.4. Неравенства для математических ожиданий | 79 |
| 3.5. Вычисление интеграла Лебега. Интегралы Лебега – Стилтьеса и Римана — Стилтьеса | 82 |
| 3.6. Условное математическое ожидание и его свойства | 87 |
| 3.7. Условное математическое ожидание относительно σ - алгебры и его свойства | 90 |
| 3.8. Моменты скалярной случайной величины и их свойства | 97 |
| 3.9. Дисперсия случайной величины и ее свойства | 98 |
| 3.10. Моменты многомерной случайной величины, ковариация, ковариационная матрица, коэффициент корреляции и их свойства | 100 |
| 3.11. Энтропия, количество информации по Шеннону и другие числовые характеристики случайных величин | 103 |
| 3.12. Характеристическая функция и ее свойства | 104 |
| 3.13. Упражнения | 111 |
| Глава 4. Случайные последовательности и их сходимость | 1 15 |
| 4.1. Определение случайной последовательности и видов ее сходимости | 115 |
| 4.2. Сходимость почти наверное. Закон 0 v 1 Бореля | 116 |
| 4.3. Сходимость по вероятности | 120 |
| 4.4. Сходимость в среднем | 124 |
| 4.5. Равномерная интегрируемость случайных величин | 127 |
| 4.6. Соотношения между видами сходимости случайных последовательностей | 130 |
| 4.7. Упражнения | 133 |
| Глава 5. Предельные теоремы | 135 |
| 5.1. Закон больших чисел и условия его выполнения | 135 |
| 5.2. Усиленный закон больших чисел и условия его выполнения | 138 |
| 5.3. Сходимость последовательностей функций распределения и характеристических функций | 144 |
| 5.4. Условие Линдеберга и его вероятностный смысл | 148 |
| 5.5. Центральная предельная теорема Линдеберга – Феллера | 150 |
| 5.6. Частные случаи центральной предельной теоремы | 153 |
| 5.7. Схема серий. Сходимость к законам Гаусса и Пуассона | 155 |
| 5.8. Центральная предельная теорема для случайных векторов и слабозависимых случайных величин | 156 |
| 5.9. Упражнения | 157 |
| Часть II . ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ | |
| Глава 6. Основные определения и общие свойства случайных процессов | 161 |
| 6.1. Определение и задание случайных процессов | 161 |
| 6.2. Эквивалентные, тождественные и сепарабельные процессы | 163 |
| 6.3. Непрерывность и дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном | 164 |
| 6.4. Стохастические интегралы в среднем квадратичном | 166 |
| 6.5. Непрерывность траекторий случайного процесса | 167 |
| 6.6. Упражнения | 170 |
| Глава 7. Стационарные в широком смысле случайные процессы | 171 |
| 7.1. Основные понятия и свойства | 171 |
| 7.2. Спектральное представление ковариационной функции случайного процесса | 172 |
| 7.3. Спектральное представление стационарного в широком смысле случайного процесса | 173 |
| 7.4. Спектральное представление действительных случайных процессов | 176 |
| 7.5. Линейные преобразования случайного процесса | 176 |
| 7.6. Прогнозирование случайного процесса | 178 |
| 7.7. Спектральное представление ковариационной функции случайной последовательности и самой стационарной случайной последовательности | 180 |
| 7.8. Линейные преобразования случайной последовательности | 181 |
| 7.9. Последовательности авторегрессии и скользящего среднего | 183 |
| 7.10. Прогнозирование случайной последовательности | 185 |
| 7.11. Интерполяция и фильтрация случайной последовательности | 187 |
| 7.12. Упражнения | 189 |
| Глава 8. Случайные процессы с независимыми приращениями | 191 |
| 8.1. Вид характеристической функции случайного процесса с независимыми приращениями | 191 |
| 8.2. Винеровский процесс | 192 |
| 8.3. Пуассоновский процесс | 200 |
| 8.4. Стохастический интеграл Ито | 202 |
| 8.5. Существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений | 207 |
| 8.6. Упражнения | 210 |
| Глава 9. Марковские случайные процессы | 213 |
| 9.1. Цепи Маркова. Определения и основные свойства | 213 |
| 9.2. Сходимость вероятностей цепи Маркова. Стационарные вероятности | 216 |
| 9.3. Дифференциальные уравнения цепей Маркова с непрерывным временем | 218 |
| 9.4. Ветвящиеся процессы с непрерывным временем | 220 |
| 9.5. Классификация состояний цепи Маркова с дискретным временем | 223 |
| 9.6. Эргодические цепи Маркова | 226 |
| 9.7. Упражнения | 227 |
| Глава 10. Мартингалы, полумартингалы и марковские моменты | 235 |
| 10.1. Мартингалы, полумартингалы и марковские моменты | 235 |
| 10.2. Неравенства для субмартингалов | 238 |
| 10.3. Теоремы о сходимости | 241 |
| 10.4. Сходимость рядов независимых случайных величин | 245 |
| 10.5. Упражнения | 248 |
| Часть III . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ | |
| Глава 11. Теория статистического оценивания параметров | 251 |
| 11.1. Основные понятия теории статистического оценивания параметров | 252 |
| 11.2. Выборочная функция распределения, выборочная характеристическая функция, выборочные моменты, гистограмма и их свойства | 254 |
| 11.3. Порядковые статистики, их свойства и применение в теории статистического оценивания | 258 |
| 11.4. Ранговые статистики и их свойства | 262 |
| 11.5. Неравенство информации. Неравенство Крамера-Рао. Эффективные оценки | 264 |
| 11.6. Метод моментов. Оценки по методу моментов и их свойства | 271 |
| 11.7. Метод максимального правдоподобия и его свойства | 272 |
| 11.8. Байесовский метод статистического оценивания параметров | 279 |
| 11.9. Достаточные статистики и их свойства | 282 |
| 11.10. Метод наименьших квадратов и его свойства | 287 |
| 11.11. Интервальное оценивание параметров | 294 |
| 11.12. Робастное статистическое оценивание | 301 |
| 11.13. Упражнения | 306 |
| Глава 12. Теория статистической проверки гипотез | 309 |
| 12.1. Основные понятия теории статистической проверки гипотез | 309 |
| 12.2. Решающее правило Неймана – Пирсона | 311 |
| 12.3. Байесовское решающее правило | 314 |
| 12.4. Проверка гипотез о распределении вероятностей. Критерии согласия | 317 |
| 12.5. Критерий отношения правдоподобия для проверки сложных гипотез | 321 |
| 12.6. Понятие о последовательном анализе Вальда | 324 |
| 12.7. Упражнения | 327 |
| Часть IV . СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ | |
| Глава 13. Разведочный анализ и сжатие данных | 331 |
| 13.1. Статистический анализ данных и его основные этапы | 331 |
| 13.2. Выборка из многомерных наблюдений как модель статистических данных | 331 |
| 13.3. Разведочный анализ данных | 332 |
| 13.4. Проблема сжатия данных. Метод главных компонент | 334 |
| Глава 14. Многомерное нормальное распределение и оценивание его параметров | 337 |
| 14.1. Многомерное нормальное распределение и его основные свойства | 337 |
| 14.2. Оценки максимального правдоподобия параметров многомерного нормального распределения. Выборочное среднее и выборочная ковариационная матрица | 341 |
| 14.3. Вероятностные свойства выборочного среднего и выборочной ковариационной матрицы. Несмещенная выборочная ковариационная матрица | 343 |
| 14.4. Упражнения | 347 |
| Глава 15. Исследование зависимостей | 349 |
| 15.1. Исследование парной зависимости признаков. Выборочный коэффициент корреляции. Z -статистика Фишера и проверка гипотез о значении коэффициента корреляции | 349 |
| 15.2. Многомерное нормальное распределение: условные распределения и частный коэффициент корреляции | 352 |
| 15.3. Многомерное нормальное распределение: прогнозирование, функция регрессии и множественный коэффициент корреляции | 355 |
| 15.4. Выборочные частный и множественный коэффициенты корреляции. Проверка гипотез независимости | 357 |
| 15.5. Проверка общих гипотез о независимости | 364 |
| 15.6. Упражнения | 368 |
| Глава 16. Проверка гипотез и статистическая классификация | 369 |
| 16.1. Проверка гипотез о значении вектора математического ожидания. Т2-статистика Хотеллинга | 369 |
| 16.2. Сравнение векторов математических ожиданий по двум выборкам. Многомерная проблема Беренса- Фишера | 374 |
| 16.3. Проверка гипотез относительно параметров многомерного нормального р аспределения | 378 |
| 16.4. Проверка гипотез относительно нескольких выборок из многомерных нормальных распределений | 380 |
| 16.5. Задачи статистической классификации. Оптимальное (байесовское) решающее правило | 385 |
| 16.6. Статистическая классификация многомерных нормальных наблюдений | 388 |
| 16.7. Дисперсионный анализ | 396 |
| 16.8. Упражнения | 398 |
| Часть V . СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ | |
| Глава 17. Основные понятия теории временных рядов | 401 |
| 17.1. Случайная функция как модель статистических наблюдений в динамике. Классификация случайных функций | 401 |
| 17.2. Временные ряды и их основные характеристики | 403 |
| 17.3. Стационарные временные ряды. Спектральная плотность стационарного в широком смысле временного ряда | 404 |
| Глава 18. Непараметрическое статистическое оценивание характеристик стационарных временных рядов | 407 |
| 18.1. Выборочное среднее стационарного временного ряда и его свойства | 407 |
| 18.2. Выборочная ковариационная функция стационарного в широком смысле временного ряда и ее свойства | 409 |
| 18.3. Статистическое оценивание спектральной плотности | 413 |
| 18.4. Упражнения | 416 |
| Глава 19. Параметрический статистический анализ стационарных временных рядов | 417 |
| 19.1. Временные ряды авторегрессии, скользящего среднего, авторегрессии и скользящего среднего: условия стационарности и ковариационные функции, единое линейное представление | 417 |
| 19.2. Асимптотическое распределение выборочного среднего и выборочной ковариационной функции стационарного временного ряда | 420 |
| 19.3. Статистическое оценивание параметров авторегрессионных временных рядов при известном порядке авторегрессии | 421 |
| 19.4. Оценивание порядка авторегрессии | 424 |
| 19.5. Прогнозирование стационарных в широком смысле временных рядов | 426 |
| 19.6. Упражнения | 430 |
| Глава 20. Статистический анализ нестационарных временных рядов | 431 |
| 20.1. Статистический анализ временных рядов с трендом в ортогональном базисе | 431 |
| 20.2. Статистическое оценивание временных рядов авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего | 435 |
| 20.3. Упражнения | 440 |
| Глава 21. Статистический анализ однородных цепей Маркова | 441 |
| 21.1. Однородные цепи Маркова. Основные понятия и свойства. Условия стационарности | 441 |
| 21.2. Метод максимального правдоподобия для оценивания матрицы вероятностей одношаговых переходов и стационарного распределения вероятностей | 443 |
| 21.3. Проверка гипотез о цепи Маркова | 445 |
| 21.4. Упражнения | 446 |
| Библиографические ссылки | 447 |
| Приложения | 449 |
| Предметный указатель | 455 |